1．已知$a,b,c$是一个三角形的三边长，求证：$$\left(\dfrac{a+b+c}{b+c-a}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{c+a-b}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{a+b-c}-1\right)\geqslant 8.$$ 继续阅读
函数的单调性揭示的是自变量的大小关系与函数值的大小关系之间的联系，单调性在自变量与函数值之间架起了一座桥梁，单调性的应用集中在通过自变量的大小关系去比较函数值的大小，或者给出函数值的大小关系反推自变量的大小． 继续阅读
已知棱长为$1$的正四面体$ABCD$，平面$\alpha$截正四面体$ABCD$得到四边形$PQRS$．
(1) 求多边形$PQRS$周长的取值范围；
(2) 求多边形$PQRS$面积的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1,a_2=\dfrac 12$，且对任意整数 $n>2$ 均有$$n\left(n+1\right)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=\left(n+1\right)^2a_{n+1}a_{n-1}.$$(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项；
(2) 对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac 2{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\dfrac 1{\sqrt n}$．
设$P$为三角形$ABC$内一点，连接$PA,PB,PC$形成$6$个角：$$\angle PAC,\angle PAB,\angle PBA,\angle PBC,\angle PCB,\angle PCA.$$证明：
（1）这$6$个角中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$；
（2）$\angle PAC,\angle PBA,\angle PCB$中至少有一个角不超过$\dfrac{\pi}6$．
函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上有定义，若对任意 $x_1,x_2\in\left[a,b\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\leqslant\dfrac 12\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right],$$则称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上具有性质 $P$．设 $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上具有性质 $P$，现给出如下命题：
(1) $f\left(x\right)$ 在 $\left[1,3\right]$ 上的图象是连续不断的；
(2) $f\left(x^2\right)$ 在 $\left[1,\sqrt 3\right]$ 上具有性质 $P$；
(3) 若 $f\left(x\right)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$，则 $f\left(x\right)=1$，$x\in\left[1,3\right]$；
(4) 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4\in\left[1,3\right]$，有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}4\right)\leqslant \dfrac 14\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+f\left(x_3\right)+f\left(x_4\right)\right].$$ 其中真命题的序号为________．
已知关于$x$的方程$\left|{\log_4}x\right|=\dfrac{1}{2^x}$有两个实数解$x_1,x_2$，求证：$x_1\cdot x_2>\dfrac 12$．
已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow {AO}=x\overrightarrow {AB}+y\overrightarrow {AC}$，且$2x+10y=5$，则$\cos\angle BAC$的值是_____．
