每日一题[754]向量的“换底公式”

已知坐标平面上的凸四边形$ABCD$满足$\overrightarrow {AC}=(1,\sqrt 3)$,$\overrightarrow {BD}=(-\sqrt 3,1)$,那么$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$的取值范围是_______.


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正确答案是$[-2,0)$.

分析与解 因为$ABCD$为凸四边形,所以$AC$与$BD$交于四边形内一点,记为$M$,利用“向量的换底公式”统一起点为$M$,得$$\begin{split} \overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=&(\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MA})\cdot(\overrightarrow {MD}-\overrightarrow {MC})\\=&\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MD}.\end{split} $$设$\overrightarrow {AM}=\lambda\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BM}=\mu\overrightarrow {BD}$,则$\lambda,\mu\in(0,1)$,且$$\begin{split} \overrightarrow {MA}=&-\lambda\overrightarrow{AC},\overrightarrow {MC}=(1-\lambda)\overrightarrow {AC},\\\overrightarrow {MB}=&-\mu\overrightarrow {BD},\overrightarrow {MD}=(1-\mu)\overrightarrow {BD},\end{split} $$又因为$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow {BD}=4,\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0,$$所以有$$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=-4\mu(1-\mu)-4\lambda(1-\lambda)\in[-2,0),$$当且仅当$\lambda=\mu=\dfrac 12$时,$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow{CD}$取到最小值$-2$.

 由于本题中$AC,BD$互相垂直,统一起点后可以直接得到取值范围,本题中后面的计算是针对一般情形的.

对于本题的特殊情况,因为对角线$AC\perp BD$,且$AC=BD=2$,可以直接以它们的交点$M$为坐标原点重新建系,以$AC,BD$所在直线的坐标轴,就可以得到$A,B,C,D$四点的坐标可以依次设为$(a,0),(0,b),(a+2,0),(0,b+2)$,从而有$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow {CD}=(-a,b)\cdot(-a-2,b+2)=a(a+2)+b(b+2),$$而$a(a+2)<0,b(b+2)<0$(因为点$A,B$与点$C,D$分别在原点$M$的两侧),即$a\in(-2,0),b\in(-2,0)$,所以$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow {CD}=a(a+2)+b(b+2)\in[-2,0).$$

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