每日一题[760]规划中的换元

已知函数$f(x)=(x^2+ax+b){\rm e}^x$,当$b<1$时,函数$f(x)$在$(-\infty,-2)$和$(1,+\infty)$上均为增函数,则$\dfrac{a+b}{a-2}$的取值范围是_______.


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正确答案是$\left(-2,\dfrac 23\right]$.

分析与解    对函数$f(x)$求导得$$f'(x)=\left[x^2+(a+2)x+(a+b)\right]\cdot{\rm e}^x,$$由题意知二次函数$y=x^2+(a+2)x+(a+b)$在$(-\infty,-2)$与$(1,+\infty)$上的函数值非负.

设$m=a-2$,$n=a+b$,则$n-m=b+2<3$,于是问题转化为$$\forall x\in(-\infty,-2)\cup (1,+\infty),g(x)=x^2+(m+4)x+n\geqslant 0,$$求$\dfrac nm$的取值范围.

先考虑此二次函数的判别式$$\Delta =(m+4)^2-4n>(m+4)^2-4(m+3)=(m+2)^2\geqslant 0,$$从而我们得到$(m,n)$的限制条件为$$\begin{cases} g(-2)=n-2m-4\geqslant 0,\\g(1)=m+n+5\geqslant 0,\\n-m<3,\\-2\leqslant -\dfrac{m+4}2\leqslant 1,\end{cases}$$可行域如下:目标函数$\dfrac nm$是可行域中的点$(m,n)$的斜率,求出交点即可得所求范围为$\left(-2,\dfrac 23\right]$.

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