每日一题[755]隔板与对应

$(1+x+x^2+\cdots+x^{100})^3$的展开式中包含$x^{150}$的项的系数为_______.


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正确答案是$7651$.

分析与解 此问题等价于方程$$i+j+k=150,0\leqslant i,j,k\leqslant 100$$的非负整数解$(i,j,k)$的个数.

如果$i,j,k$没有不大于$100$的限制,那么此问题可以直接用隔板法与对应法解决,将$(i,j,k)$对应到$(i',j',k')=(i+1,j+1,k+1)$,则考虑$i'+j'+k'=153$的正整数解的个数即可,直接用隔板法知,共有${\rm C}_{152}^2$个.

再考虑不满足限制条件的解的个数,即$i,j,k$中有一个数大于$100$(有且仅有一个!),先考虑$i\geqslant 101$的解的个数,作对应$$(i,j,k)\to (i',j',k')=(i-100,j+1,k+1),$$则$i'+j'+k'=52$,考虑此方程的正整数解的个数即可,有${\rm C}_{51}^2$个,所以所有不满足限制条件的解的个数为$3{\rm C}_{51}^2$.

综上知,$x^{150}$的系数为$${\rm C}_{152}^2-3{\rm C}_{51}^2=7651.$$

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每日一题[755]隔板与对应》有 1 条评论

  1. bigtree bigtree说:

    帅!漂亮的方法!

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