每日一题[755]隔板与对应

$(1+x+x^2+\cdots+x^{100})^3$的展开式中包含$x^{150}$的项的系数为_______．

正确答案是$7651$．

分析与解　此问题等价于方程$$i+j+k=150,0\leqslant i,j,k\leqslant 100$$的非负整数解$(i,j,k)$的个数．

如果$i,j,k$没有不大于$100$的限制，那么此问题可以直接用隔板法与对应法解决，将$(i,j,k)$对应到$(i',j',k')=(i+1,j+1,k+1)$，则考虑$i'+j'+k'=153$的正整数解的个数即可，直接用隔板法知，共有${\rm C}_{152}^2$个．

再考虑不满足限制条件的解的个数，即$i,j,k$中有一个数大于$100$（有且仅有一个！），先考虑$i\geqslant 101$的解的个数，作对应$$(i,j,k)\to (i',j',k')=(i-100,j+1,k+1),$$则$i'+j'+k'=52$，考虑此方程的正整数解的个数即可，有${\rm C}_{51}^2$个，所以所有不满足限制条件的解的个数为$3{\rm C}_{51}^2$．

综上知，$x^{150}$的系数为$${\rm C}_{152}^2-3{\rm C}_{51}^2=7651.$$