Math173

在棱长为$a$的正方体$ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$中，$E$为棱$AB$的中点．

(1)求四面体$E - {B_1}{D_1}C$的体积；

(2)求点$C$到平面$EA_1C_1$的距离．

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如图，已知$A,B$两点在椭圆$C:\dfrac{{{x^2}}}{m} + {y^2} = 1$（$m > 1$），直线$AB$上两个不同的点$P,Q$满足$\left| {AP} \right|:\left| {PB} \right| = \left| {AQ} \right|:\left| {QB} \right|$，且$P$点的坐标为$\left( {1, 0} \right)$，求点$Q$的轨迹方程．

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设$\triangle ABC$的三边$a,b,c$ 上的高分别为$h_a,h_b,h_c$ ，满足$3\cdot\dfrac{a}{{{h_a}}} - \dfrac{b}{{{h_b}}} + 6\cdot\dfrac{c}{{{h_c}}} = 6$．

(1)若$\triangle ABC$的面积为$S$，试证$S = \dfrac{1}{{12}}(3{a^2} - {b^2} + 6{c^2})$；

(2)用$b,c$ 表示$\sin \left( {A + \dfrac{\pi}{4}} \right)$，并求$A$的大小；

(3)根据上述解题过程所得到的$\triangle ABC$结论，请你设计一个与三角形有关的类似结论，并证明你所给的结论．

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数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$满足条件：${a_1} = 1$，${a_n} = 1 + \dfrac{1}{{{a_{n - 1}}}}$（$n \geqslant 2$）．试证明：

(1)$1 \leqslant {a_n} \leqslant 2$，$n \in {{\mathbb{N}}^ * }$；

(2)$\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{{\left| {{a_{n + 1}} - {a_n}} \right|}}{{\left| {{a_n} - {a_{n - 1}}} \right|}} \leqslant \dfrac{1}{2}$，$n \geqslant 2$且$n \in {{\mathbb {N}}^ * }$．

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已知等比数列$\{a_n\}$的首项${a_1} = 1025$，公比$q = - \dfrac{1}{2}$，求${\Pi _n} = {a_1}{a_2} \cdots {a_n}$的最大值．

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已知$f\left( x \right)$为一元二次函数，且$a,f\left( a \right),f\left( {f\left( a \right)} \right),f\left( {f\left( {f\left( a \right)} \right)} \right)$为正项等比数列，求证：$f\left( a \right) = a$．

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对于函数$f(x)$，方程$f(x)=x$的根称为$f(x)$不动点．

(1)证明：若$f\left( {f\left( x \right)} \right)$有唯一不动点，则$f\left( x \right)$也有唯一不动点．

(2)已知函数$f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$（$a \ne 0$），且$f\left( x \right) $没有不动点．那么$f\left( {f\left( x \right)} \right) $是否有不动点？证明你的结论．

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已知椭圆$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，过椭圆左顶点$A\left( -a,0 \right)$的直线$l$与椭圆交于$Q$，与$y$轴交于$R$，过原点与$l$平行的直线与椭圆交于$P$．求证：$AQ$，$\sqrt{2}OP$，$AR$成等比数列．

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有编号为①，②的$2$个红球，编号为③，④的$2$个黑球，编号为⑤，⑥，⑦的$3$个白球．将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中，要求每个盒中放$1$个或$2$个球，而且同色球不能放入同一盒中，则不同的放置方式共有______种．

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