（2012年北京市海淀区二模）曲线$C$是平面内到定点$A(1,0)$的距离与到定直线的距离$x=-1$的距离之和为$3$的动点$P$的轨迹，则曲线$C$与$y$轴的交点的坐标是_____；又已知$B(a,1)$($a$为参数)，那么$|PA|+|PB|$的最小值$d(a)=$______．
已知$n>m\geqslant 0$，$n,m\in\mathbb N$，求证：$\displaystyle \sum_{i=0}^n{\rm C}_n^i(-1)^i(i+1)^m=0$．
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1．已知$x,y\in (0,1)$，$n\in\mathcal N^*$，求证：$\dfrac{x^n}{1-x^2}+\dfrac{y^n}{1-y^2}\geqslant \dfrac{x^n+y^n}{1-xy}$．
已知函数$f(x)=m\ln x$与函数$h(x)=\dfrac{x-1}{2x}$($x>0$)的图象有且只有一条公切线，求实数$m$的值．
（2010年广东卷）设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$是平面直角坐标系$xOy$上的两点，现定义由点$A$到点$B$的折线距离$d(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$．对于平面$xOy$上给定的不同两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$．
(1) 若$C(x,y)$是平面$xOy$上的点，试证明$d(A,C)+d(C,B)\geqslant d(A,B)$；
(2) 在平面$xOy$上是否存在点$C(x,y)$同时满足：$d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)$和$d(A,C)=d(C,B)$．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由．
（2009年广东卷）已知曲线$C_n:x^2-2nx+y^2=0$($n=1,2,\cdots $)．从点$P(-1,0)$向曲线$C_n$引斜率为$k_n$($k_n>0$)的切线$l_n$，切点为$P_n(x_n,y_n)$．
(1) 求数列$\{x_n\}$与$\{y_n\}$的通项公式；
(2) 证明：$x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2n-1}<\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt 2\sin\dfrac{x_n}{y_n}$．
已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率$e=\dfrac 12$，过焦点且垂直于$x$轴的直线被椭圆截得的线段长为$3$．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 斜率为$\dfrac 12$的动直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，在平面上是否存在定点$P$，使得当直线$PA$与直线$PB$的斜率均存在时，斜率之和是与$l$无关的常数?若存在，求出所有满足条件的定点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．
(2011年广东卷)设$b>0$，数列$\{a_n\}$满足$a_1=b$，$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$($n\geqslant 2$，$n\in\mathcal N^*$)．
(1) 求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数$n$，$a_n\leqslant \dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}} +1$．
已知适合不等式$\left|x^2-4x+a\right|+|x-3|\leqslant 5$的$x$的最大值为$3$，求实数$a$的值，并解该不等式．
阶梯教室安装的连体课桌一行坐$6$个人，考生只能从课桌两头走出考场，考生交卷时间先后不一，如果坐在里面的考生要先交卷就需要打扰别人，把一行考生中打扰别人交卷的人数视为随机变量$X$，求$X$的数学期望．
