Math173

在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$中，直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，直线$AB$不过点$P(2,0)$，且以$AB$为直径的圆恒过点$P(2,0)$，求证：直线$AB$恒过定点，并求该定点的坐标．

继续阅读 →

在直角$\triangle ABC$中，$B$为直角，$A=60^\circ$，$AB=4\sqrt 3$，点$D$在$BC$边上，且$BD=2$，点$G$在$AB$边上，点$E,F$在$AC$边上，线段$DE$与$GF$相交于点$O$．若$DE=GF$且$\angle EOF=60^\circ$，求四边形$DGEF$面积的取值范围．

继续阅读 →

（2012年上海卷）对于数集$X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中$0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集$Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意$\overrightarrow a_1\in Y$，存在$\overrightarrow a_2\in Y$，使得$\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称$X$具有性质$P$．例如$\{-1,1,2\}$具有性质$P$．
(1) 若$x>2$，且$\{-1,1,2,x\}$具有性质$P$，求$x$的值；
(2) 若$X$具有性质$P$，求证：$1\in X$，且当$x_n>1$时，$x_1=1$；
(3) 若$X$具有性质$P$，且$x_1=1$，$x_2=q$($q$为常数)，求有穷数列$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的通项公式．

继续阅读 →

若平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=4$，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow e$是平面内的单位向量，则$\Big|\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e\Big|+\Big|\overrightarrow b\cdot \overrightarrow e\Big|$的取值范围是_________．

继续阅读 →

在数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=ca_n+c^{n+1}(2n+1)$，$n\in\mathcal N^*$，其中实数$c\ne 0$．
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 若对一切$k\in\mathcal N^*$有$a_{2k}>a_{2k-1}$，求$c$的取值范围．

继续阅读 →

设抛物线$C:y=x^2$的焦点为$F$，动点$P$在直线$l:x-y-2=0$上运动，过点$P$作抛物线$C$的两条切线$PA,PB$且与抛物线分别相切于点$A,B$．
(1) 求$\triangle APB$的重心$G$的轨迹方程；
(2) 求证：$\angle PFA=\angle PFB$．

继续阅读 →

（2011年北京卷）若数列$A_n:a_1,a_2,\cdots ,a_n$($n\geqslant 2$)满足$\left|a_{k+1}-a_k\right|=1$($k=1,2,\cdots ,n-1$)，则称$A_n$为$E$数列．记$S(A_n)=a_1+a_2+\cdots +a_n$．
(1) 写出一个满足$a_1=a_5=0$，且$S(A_3)>0$的$E$数列$A_5$；
(2) 若$a_1=12$，$n=2000$，证明：$E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$；
(3) 对任意给定的整数$n$($n\geqslant 2$)，是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$，使得$S(A_n)=0$．如果存在，写出一个满足条件的$E$数列$A_n$；如果不存在，说明理由．

继续阅读 →

设关于$x$的方程$x(x-3)^2=m$有三个不同的实数解$a,b,c$，且$a<b<c$，则下列命题正确的是________．
(1) $abc$的取值范围是$(0,4)$；
(2) $a^2+b^2+c^2$为定值；
(3) $c-a$有最小值，没有最大值．

继续阅读 →