每日一题[699]雾里看花

已知$P$为圆$O_1:(x-a)^2+(y-b)^2=b^2+1$与圆$O_2:(x-c)^2+(y-d)^2=d^2+1$的交点,若$ac=8$,$\dfrac ab=\dfrac cd$,则点$P$与$l:3x-4y-25=0$上的点$Q$之间距离的最小值是______.


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分析与解 $2$.

设$P(m,n)$,$b=ka$,$d=kc$,则$$P\in O_1:(m-a)^2+(n-ka)^2=k^2a^2+1,$$即$$O_1:a^2-(2m+2kn)a+m^2+n^2-1=0,$$类似地,有$$P\in O_2:c^2-(2m+2kn)c+m^2+n^2-1=0,$$于是$a,c$是关于$t$的方程$$t^2-(2m+2kn)t+m^2+n^2-1=0$$的两个实根,于是$$ca=m^2+n^2-1,$$从而点$P$的轨迹方程为$x^2+y^2=9$.

因此点$P$到直线$l:3x-4y-25=0$的最小距离为$2$.

 本题参数众多,以$P$点的坐标为参数,找到$P$点满足的轨迹是解决本题的关键.

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