已知正项数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 32$，$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac{1}{(n+2)^2}-\dfrac{1}{n^2}$，记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_3}+\dfrac{1}{S_5}-\cdots -\dfrac{1}{S_{2007}}+\dfrac{1}{S_{2009}}$的值为______．
(2012年新课标I卷理科数学第21题)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$．
(1) 求$f(x)$的解析式及单调区间；
(2) 若$f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$，求$(a+1)b$的最大值．
已知$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的函数，$f\left(\dfrac 12\right)=-1$，且对任意$x,y\in (-1,1)$，有$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$．
(1) 求证：$f(x)$是奇函数；
(2) 若数列$\{x_n\}$满足$x_1=\dfrac 12$，$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{1+x_n^2}$，求$f(x_n)$；
(3) 证明：$1+f\left(\dfrac 15\right)+f\left(\dfrac 1{11}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{1}{n^2+3n+1}\right)+f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)=0$．
过直线$l:x+y=2$上任意点$P$向圆$C:x^2+y^2=1$作两条切线，切点分别为$A,B$．线段$AB$的中点为$Q$，则点$Q$到直线$l$的距离的取值范围是________．
如图，在平面四边形$ABCD$中，$AC=l_1$，$BD=l_2$，则$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=$_______．
若存在实数$\varphi$，使圆面$x^2+y^2\leqslant 4$恰好覆盖函数$y=\sin\left(\dfrac{\pi}kx+\varphi\right)$的图象的最高或最低点共$3$个，则正实数$k$的取值范围是_______．
已知点$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,m)$，以$C$为圆心作半径为$\dfrac{\sqrt {10}}3$的圆$C$．
(1) 若对线段$AB$上的任意一点$P$，均存在过$P$的直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围；
(2) 若线段$AB$上存在一点$P$，使过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$)，且$|PM|=|MN|$，求$m$的取值范围．
已知$m,n\geqslant 0$，函数$f(x)=\dfrac 12(m-2)x^2+(n-8)x+1$在区间$\left[\dfrac 12,2\right]$上单调递减，则$mn$的最大值是________．
已知抛物线$C_1:x^2=2py$($p>0$)与圆$C_2:x^2+y^2=8$的两个交点之间的距离为$4$．
(1) 求$p$的值；
(2) 若$C_1$在点$A,B$处切线垂直相交于点$P$，且点$P$在圆$C_2$内部，直线$AB$与$C_2$相交于$C,D$两点，求$|AB|\cdot |CD|$的最小值．
