每日一题[716]抛物线的几何性质

已知抛物线$C_1:x^2=2py$($p>0$)与圆$C_2:x^2+y^2=8$的两个交点之间的距离为$4$.

(1) 求$p$的值;

(2) 若$C_1$在点$A,B$处切线垂直相交于点$P$,且点$P$在圆$C_2$内部,直线$AB$与$C_2$相交于$C,D$两点,求$|AB|\cdot |CD|$的最小值.


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分析与解 容易求得$p=1$,抛物线的方程为$x^2=2y$.

设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,设$AB$交$y$轴于$(0,y_0)$,则抛物线的几何平均性质知$$y_0^2=y_1y_2=\dfrac 14x_1^2x_2^2.$$又由$A,B$处的切线互相垂直知$x_1x_2=-1$,所以$y_0=\dfrac 12$,即直线$AB$恒过焦点.

于是当直线$AB$与$x$轴平行时,$|AB|$和$|CD|$同时取得最小值,有$$\left(|AB|\cdot|CD|\right)_{\min}=2\cdot 2\sqrt{8-\dfrac 14}=2\sqrt{31}.$$

 下面给出本题的常规解法:

(1)由点$(2,2)$在$C_1$上知$p=1$,所以$C_1:x^2=2y$.

(2)设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,对$y=\dfrac 12x^2$求导得$y'=x$,所以由题意知$x_1x_2=-1$,联立$C_1$在点$A,B$处的切线方程$$\begin{cases} y=x_1x-\dfrac 12x_1^2,\\y=x_2x-\dfrac 12x_2^2,\end{cases} $$得到交点$P\left(\dfrac {x_1+x_2}{2},-\dfrac 12\right)$.由点$P$在圆内得$$(x_1+x_2)^2<31.$$又因为直线$$AB:\dfrac 12(x_1+x_2)x-y+\dfrac 12=0$$过抛物线的焦点,所以$$|AB|\cdot|CD|=\dfrac 12(x_1^2+x_2^2+2)\cdot 2\sqrt{8-d^2}.$$其中$d$为$O$到直线$AB$的距离$$d=\dfrac{\frac 12}{\sqrt{\frac 14(x_1+x_2)^2+1}}=\dfrac 1{\sqrt{x_1^2+x_2^2+2}}.$$令$m=x_1^2+x_2^2<33$,则$$|AB|\cdot|CD|=\sqrt{(m+2)(8m+15)}.$$又由$m=x_1^2+\dfrac 1{x_1^2}\geqslant 2$,所以$m\in[2,33)$.

当$m=2$时,$|AB|\cdot|CD|$取到最小值$2\sqrt{31}$.

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