每日一题[718]“翻译”条件(直线与圆)

已知点$A(0,3)$,$B(1,0)$,$C(3,m)$,以$C$为圆心作半径为$\dfrac{\sqrt {10}}3$的圆$C$.
(1) 若对线段$AB$上的任意一点$P$,均存在过$P$的直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$),且$|PM|=|MN|$,求$m$的取值范围;
(2) 若线段$AB$上存在一点$P$,使过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$(其中$|PM|<|PN|$),且$|PM|=|MN|$,求$m$的取值范围.


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分析与解 (1) $\left[2,\sqrt 6\right]$;(2) $\left[-\sqrt 6,4\right]$.

由题意知,点$P$一定在圆$C$的外部,我们来“翻译”条件:“过$P$的某条直线与圆$C$相交于点$M,N$($|PM|<|PN|$),且$|PM|=|MN|$”,如图:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8b%e5%8d%8812-06-58

当$PMN$与圆$C$相切时,一定有$|PM|>|MN|$;

当$PMN$与圆心$C$的距离越来越近时,$|PM|$  减小,$|MN|$增大,直到$PMN$经过圆心$C$时,$|PM|$有最小值,$|MN|$有最大值,所以上述条件翻译为:$$|PM|_{\min}=PC-r\leqslant 2r,$$即$$|PC|\leqslant 3r.$$其中,$r$是圆$C$的半径.

(1)题意即线段$AB$上任意一点$P$到圆心$C$的距离不大于$3r$,即$C$到线段$AB$上的点的距离的最大值小于等于$3r$,这当且仅当$$|CA|=\sqrt{9+(3-m)^2}\leqslant 3r=\sqrt {10},$$且$$|CB|=\sqrt{4+m^2}\leqslant 3r=\sqrt{10},$$解得$m\in [2,\sqrt 6]$.

(2)题意在线段$AB$上存在一点$P$,它到点$C$的距离不大于$3r$.即$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值小于等于$\sqrt{10}$.

先探索充分条件:

若$|CA|\leqslant 3r$或$|CB|\leqslant 3r$,此时的$m$一定满足条件,解得$$-\sqrt 6\leqslant m\leqslant 4.$$若$m<-\sqrt 6$,此时$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值为$|CB|$,显然不满足;若$m>4$,此时$C$到线段$AB$上的点的距离的最小值为$|CA|$,也不满足.

综上知$m\in[-\sqrt 6,4]$.

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