每日一题[717]限制条件下的最值

已知$m,n\geqslant 0$,函数$f(x)=\dfrac 12(m-2)x^2+(n-8)x+1$在区间$\left[\dfrac 12,2\right]$上单调递减,则$mn$的最大值是________.


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分析与解 由$m,n\geqslant 0$,$f'\left(\dfrac 12\right)\leqslant 0$,$f'(2)\leqslant 0$得$$\begin{cases} 2n+m\leqslant 18,\\2m+n\leqslant 12.\end{cases} $$规划如下:

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可得$mn$的最大值是$18$,当$m=3,n=6$时取到最大值.

另法 不借助导数,需要按$m-2$的符号的正负进行讨论,得到$m,n$的限制条件:

①当$m-2=0$时,有$n<8$,此时$mn<16$;

②当$m-2<0$时,即$0<m<2$时,有$$-\dfrac {n-8}{m-2}\leqslant \dfrac 12,$$化简得$m+2n\leqslant 18$,此时有$$mn<2n\leqslant 18-m<18.$$

③$m-2>0$时,即$m>2$时,有$$-\dfrac {n-8}{m-2}\geqslant 2,$$化简得$2m+n\leqslant 12$,此时$$mn\leqslant m(12-2m)=2m(6-m)\leqslant 2\cdot\left(\dfrac {m+6-m}{2}\right)^2=18,$$当且仅当$m=3,n=6$时取到等号.

综上知,$mn$的最大值为$18$.

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