每日一题[720]平面向量的数量积

如图,在平面四边形$ABCD$中,$AC=l_1$,$BD=l_2$,则$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=$_______.

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分析与解 $l_1^2-l_2^2$.

设直线$AC$与$BD$的公共点为$O$,$\overrightarrow{OA}=a\overrightarrow e_1$,$\overrightarrow{OB}=b\overrightarrow e_2$,$\overrightarrow{OC}=c \overrightarrow e_1$,$\overrightarrow{OD}=d \overrightarrow e_2$,其中$\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$是单位向量,且$|a-c|=l_1$,$|b-d|=l_2$.设所求式的值为$m$,则\[\begin{split} m&=\left(\overrightarrow {OB}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\right)\\
&=\left[(c-a)\overrightarrow e_1+(b-d)\overrightarrow e_2\right]\cdot \left[(c-a)\overrightarrow e_1-(b-d)\overrightarrow e_2\right]\\
&=(c-a)^2-(b-d)^2\\
&=l_1^2-l_2^2.\end{split} \]
另法 因为\[\begin{split}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=&\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD},\\\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=&\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD},\end{split}\]所以$$m=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BD}=l_1^2-l_2^2.$$

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