每日一题[723]从图形角度看不等式

(2012年新课标I卷理科数学第21题)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$.
(1) 求$f(x)$的解析式及单调区间;
(2) 若$f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$,求$(a+1)b$的最大值.


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分析与解 (1) 根据题意,函数$f(x)$的导函数$$f'(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)+x,$$分别令$x=1$和$x=0$,可得$f(x)={\rm e}^x-x+\dfrac 12x^2$.进而其导函数$$f'(x)={\rm e}^x-1+x,$$于是函数$f(x)$的单调递增区间是$(0,+\infty)$,单调递减区间是$(-\infty,0)$.

(2) 根据题意,有$${\rm e}^x\geqslant (a+1)x+b.$$取函数$y={\rm e}^x$的斜率为$a+1$的切线,设切点为$t$,则切线方程为$$y={\rm e}^t(x-t)+{\rm e}^t,$$其中${\rm e}^t=a+1$.易知$${\rm e}^x\geqslant {\rm e}^tx+(1-t){\rm e}^t,$$等号当且仅当$x=t$时取得.因此$b\leqslant (1-t){\rm e}^t$.由于$a+1={\rm e}^t>0$,于是$$(a+1)b\leqslant {\rm e}^t\cdot (1-t){\rm e}^t,$$记右侧函数为$\varphi(t)$,则其导函数$$\varphi'(t)={\rm e}^{2t}(1-2t),$$于是当$t=\dfrac 12$时,$\varphi(t)$取得极大值,亦为最大值$\dfrac 12{\rm e}$.于是$(a+1)b$的最大值为$\dfrac 12{\rm e}$,此时$a=\sqrt{\rm e}-1$,$b=\dfrac 12\sqrt{\rm e}$.

思考与总结 从图形的角度看待题中的不等式,将含有两个变元的式子$(a+1)b$转化为只含一个变元$t$的式子.


下面给出一道练习:

练习 已知$f(x)=\ln (ax+b)$,且$a\neq 0$.若在$f(x)$的定义域内恒有$f(x)\leqslant x$,求$a(a+b)$的最大值.

答案 $\dfrac 12{\rm e}^3$.

提示 $a<0$时不等式显然不会恒成立,只考虑$a>0$,此时有$$\ln(ax+b)\leqslant x-\dfrac {a-b}{a}+\ln a,$$等号当且仅当$x=\dfrac{a-b}{a}$时取到,从而得到$b\leqslant a-a\ln a$,有$$a(a+b)\leqslant 2a^2-a^2\ln a,$$右边的式子的最大值为$\dfrac 12{\rm e}^3$.

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