每日一题[721]直线与圆

过直线$l:x+y=2$上任意点$P$向圆$C:x^2+y^2=1$作两条切线,切点分别为$A,B$.线段$AB$的中点为$Q$,则点$Q$到直线$l$的距离的取值范围是________.


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分析与解 $\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2\right)$.

法一 代数计算
设$P(m,2-m)$,则切点弦$AB$所在的直线方程为$$mx+(2-m)y=1,$$直线$OQ$的方程为$$(2-m)x-my=0,$$联立可解得$$Q\left(\dfrac {m}{m^2+(2-m)^2},\dfrac {2-m}{m^2+(2-m)^2}\right).$$从而有点$Q$到$l$的距离$$d=\sqrt 2\left|\dfrac 1{2(m-1)^2+2}-1\right|\in\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},\sqrt 2\right).$$

法二 平面几何
点$A,O$分别作$QH,OQ$垂直于$l$,垂足为$H,D$,如图,有$$\dfrac {QH}{OD}=\dfrac {PQ}{PO}.$$由直角三角形的射影定理知$$PQ\cdot PO=PB^2=PO^2-1,$$所以有$$QH=\sqrt 2\cdot\dfrac{PO^2-1}{PO^2}=\sqrt 2\left(1-\dfrac{1}{PO^2}\right).$$因为$PO\in[\sqrt 2,+\infty)$,可以得到$QH\in\left[\dfrac{\sqrt 2}{2},\sqrt 2\right)$.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-12-%e4%b8%8b%e5%8d%881-42-32事实上,$Q$点的轨迹是直线$l$对圆$C$的反演圆:$$x\left(x-\dfrac 12\right)+y\left(y-\dfrac 12\right)=0.$$

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