已知两个非零复数$x,y$的立方和为$0$，则$\left(\dfrac{x}{x-y}\right)^{2000}+\left(\dfrac{y}{y-x}\right)^{2000}$的值为______．
1．设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a,b,c\in\mathcal R$且$a>0$)．记$p$：$f(x)$与$f(f(x))$均恰好有两个零点，$q$：$f\left(f\left(-\dfrac b{2a}\right)\right)<0$，则$p$是$q$的_______条件．
设二次函数$f(x)=x^2+bx+c$，若对任意的实数$b$，都存在实数$x\in [1,2]$，使得不等式$|f(x)|\geqslant x$成立，求实数$c$的取值范围．
在$\triangle ABC$中，$AC=2AB=2$，$BC=\sqrt 3$，$P$是$\triangle ABC$内部一点，记$\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$的面积分别为$S_{\triangle PAB},S_{\triangle PBC},S_{\triangle PCA}$，且$$\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}}=\dfrac{S_{\triangle PBC}}{\overrightarrow {PB}\cdot \overrightarrow {PC}}=\dfrac{S_{\triangle PCA}}{\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PA}},$$则$PA+PB+PC=$________．
求证：$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$．
已知函数$f(x)=x^2-2x+1+a\ln x$有两个极值点$x_1,x_2$，且$x_1<x_2$，则( )
A．$f(x_2)<-\dfrac{1+2\ln 2}4$
B．$f(x_2)<\dfrac{1-2\ln 2}4$
C．$f(x_2)>\dfrac{1+2\ln 2}4$
D．$f(x_2)>\dfrac{1-2\ln 2}4$
已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，若存在实数$t$，当$x\in [1,m]$时，$f(x+t)\leqslant x$恒成立，则实数$m$的最大值为________．
设$A,B,C,D$是空间四个不共面的点，以$\dfrac 12$的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则$A,B$可用空间折线(一条或若干条边组成的)连接的概率为_______．
平面内向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$，$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$，则$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$的取值范围是_________．
1、设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\theta$，若存在$m\in\mathcal R$，使得向量$2\overrightarrow a-m \overrightarrow b$与$\overrightarrow a-m\overrightarrow b$的夹角也为$\theta$，则$\cos\theta$的最小值是_______．
