Math173

设$m,n\ (3\leqslant m\leqslant n)$是正整数，数列$A_m:a_1,a_2,\cdots,a_m$，其中$a_i\ (1\leqslant i\leqslant m)$是集合$\{1,2,3,\cdots,n\}$中互不相同的元素．若数列$A_m$满足：只要存在$i,j\ (1\leqslant i<j\leqslant m)$使$a_i+a_j \leqslant n$，总存在$k\ (1\leqslant k\leqslant m)$有$a_i+a_j=a_k$，则称数列$A_m$是“好数列”．
(1) 当$m=6$，$n=100$时，
　　(i) 若数列$A_6:11,78,x,y,97,90$是一个“好数列”，试写出$x,y$的值，并判断数列：$11,78,90,x,97,y$是否是一个“好数列”？
　　(ii) 若数列$A_6:11,78,a,b,c,d$是“好数列”，且$a<b<c<d$，求$a,b,c,d$共有多少种不同的取值？
(2) 若数列$A_m$是“好数列”，且$m$是偶数，证明：$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\geqslant \dfrac{n+1}{2}$．

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已知集合$A_n=\left\{\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\left|\ x_i\in\{-1,1\}\ (i=1,2,\cdots,n)\right.\right\}$，${\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n$，${\overrightarrow x}=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$，${\overrightarrow y}=\left(y_1,y_2,\cdots,y_n\right)$，其中$x_i,y_i\in\{-1,1\}\ (i=1,2,\cdots,n)$．定义${\overrightarrow x}\cdot {\overrightarrow y}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$．若${\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}=0$，则称${\overrightarrow x}$与${\overrightarrow y}$正交．
(1) 若${\overrightarrow x}=(1,1,1,1)$，写出$A_4$中与${\overrightarrow x}$正交的所有元素；
(2) 令$B=\left\{{\overrightarrow x}\cdot{\overrightarrow y}\left|\ {\overrightarrow x},{\overrightarrow y}\in A_n\right.\right\}$．若$m\in B$，证明：$m+n$为偶数；
(3) 若$A\subseteq A_n$，且$A$中任意两个元素均正交，分别求出$n=8,14$时，$A$中最多可以有多少个元素．

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已知含有$n$个元素的正整数集$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$($a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$)具有性质$P$：对任意不大于$S(A)$(其中$S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$)的正整数$k$，存在数集$A$的一个子集，使得该子集所有元素之和等于$k$．

(1) 写出$a_1,a_2$的值；
(2) 证明：“$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列”的充要条件是“$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$”；
(3) 若$S(A)=2017$，求当$n$取最小值时，$a_n$的最大值．

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已知椭圆$G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，与$x$轴不重合的直线$l$经过左焦点$F$，且与椭圆$G$相交于$A,B$两点，弦$AB$的中点为$M$，直线$OM$与椭圆$G$相交于$C,D$两点．

(1) 若直线$l$的斜率为$1$，求直线$OM$的斜率；

(2) 是否存在直线$l$，使得$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$成立？若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，请说明理由．

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已知函数$f(x)=x^2-2ax+4(a-1)\ln (x+1)$，其中实数$a<3$．

(1) 判断$x=1$是否为函数$f(x)$的极值点，并说明理由；

(2) 若$f(x)\leqslant 0$在区间$[0,1]$上恒成立，求$a$的取值范围．

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已知实数$u,v,x,y$满足$u^2+v^2=1$，$\begin{cases} x+y-1\geqslant 0,\\ x-2y+2\geqslant 0,\\ x\leqslant 2,\end{cases}$则$ux+vy$的最大值是______．

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(1) 已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交椭圆于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=AB$，则椭圆的离心率为_______；

(2) 已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的右焦点为$F$，过$F$的直线交双曲线于$A,B$两点，点$C$是点$A$关于原点$O$的对称点，若$CF\perp AB$且$CF=FB$，则双曲线的离心率为_______．

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求证：$(x-1){\rm e}^x-\ln x> -\dfrac 12$．

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已知过定点$A(-1,0)$的直线与抛物线$C:y^2=4x$交于$M,N$两点，$Q$是抛物线上不同于$M,N$的点，若直线$QM$恒过点$(1,-1)$，求证：直线$QN$也恒过定点并求出该定点的坐标．

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已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和直线$l:Ax+By=1$，$P$是直线$l$上一点，射线$OP$交椭圆于点$R$．又点$Q$在射线$OP$上且满足$|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$，当$P$在直线$l$上移动时，求点$Q$的轨迹方程．

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