每日一题[729]分析通项

求证:$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$.


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证明过程 利用$\ln n<\sqrt n-\dfrac{1}{\sqrt n}$,可得$$\dfrac{n-1}{n\ln n}>\dfrac{1}{\sqrt n}>2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right).$$对$n=2,3,\cdots,n$累加得$$\dfrac 1{2\ln 2}+\dfrac 2{3\ln 3}+\cdots+\dfrac {n-1}{n\ln n}>2(\sqrt{n+1}-\sqrt 2)>2\sqrt{n+1}-3.$$不等式得证.


证明过程很简洁,思路是怎么来得呢?

思路分析 要证不等式的左边是级数求和,可以分析通项:要证$$\sum_{k=1}^n{a_k}>f(n),$$可以尝试证明$a_k>f(k)-f(k-1)$,再通过累加及分析开始几项,可得结果.

在本题中,分析通项得:只需要证明$$\dfrac {n-1}{n\ln n}>2(\sqrt{n+1}-\sqrt n),$$也即证$$\ln n<\dfrac {n-1}{n}\cdot\dfrac {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2},$$我们可以证明更强的命题$$\ln n<\dfrac {n-1}{n}\cdot\sqrt n=\sqrt n-\dfrac 1{\sqrt n}.$$于是得到上面的书写过程.

注 与$\ln x$相关的常见不等式:

最平凡的:$$\forall x>0,\ln x\leqslant x-1;$$

一个下界:$$x\in(0,1),\ln x>1-\dfrac 1x;$$

一个更精确的界:$$\begin{split}& \forall x\in(0,1),\dfrac {x-1}{\sqrt x}<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1};\\&\forall x\in(1,+\infty),\dfrac {2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac {x-1}{\sqrt x}.\end{split} $$

上述不等式的证明见http://lanqi.org/skills/18618/,这里略去.

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