每日一题[726]“约不约”随机

设$A,B,C,D$是空间四个不共面的点,以$\dfrac 12$的概率在每对点之间连一条边,任意两对点之间是否连边是相互独立的,则$A,B$可用空间折线(一条或若干条边组成的)连接的概率为_______.


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分析与解 $\dfrac 34$.

考虑反面,即$A,B$不能用空间折线连接的概率:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-12-%e4%b8%8b%e5%8d%882-36-14法一 以$B,C$与$B,D$是否连边分情况讨论.

①若$B,C$与$B,D$都不连边,则一定满足情况,所求概率为$$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\dfrac 12=\dfrac 18;$$

②若$B,C$与$B,D$都连边,那么$A,C$与$A,D$都不连边,所求概率为$$\left(\dfrac 12\right)^5=\dfrac 1{32};$$

③若$B,C$与$B,D$恰有一组连边,不妨考虑$B,C$连边,$B,D$不连边,则$A,C$不连边,且$C,D$与$A,D$不同时连边即可,所求概率为$$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\dfrac 12\times \dfrac 12\times\left(1-\dfrac 14\right)=\dfrac {3}{64}.$$

所以$A,B$不能用空间折线连接的概率为$$\dfrac 18+\dfrac 1{32}+2\times\dfrac {3}{64}=\dfrac 14.$$从而所求概率为$1-\dfrac 14=\dfrac 34$.

法二 按$C,D$是否连边分两种情况讨论:
①若$C,D$不连边,则满足条件的有三种情况:$A,D$,$B,D$,$A,C$与$B,C$都不连边;仅有一组连边;或有两组连边,但$A,D$与$B,D$不同时连边,$A,C$与$B,C$不同时连边均可.

故所求概率为$$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\left[\left(\dfrac 12\right)^4+{\rm C}_4^1\times\left(\dfrac 12\right)^4+{\rm C}_2^1\times{\rm C}_2^1\times\left(\dfrac 12\right)^4\right]=\dfrac 9{64}.$$

②若$C,D$连边,也有三种情况:$A,D$,$B,D$,$A,C$,$B,C$全不连边;或只有一组连边,或有两组连边,但两组连边为$AD,AC$或$BC,BD$.

所求概率为$$\dfrac 12\times\dfrac 12\times\left[\dfrac {1}{16}+{\rm C}_4^3\times\left(\dfrac 12\right)^4+2\times\left(\dfrac 12\right)^4\right]=\dfrac {7}{64}.$$从而$A,B$不能用折线连接的概率为$$\dfrac 9{64}+\dfrac 7{64}=\dfrac 14,$$所求概率为$1-\dfrac 14=\dfrac 34$.

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