已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，若存在实数$t$，当$x\in [1,m]$时，$f(x+t)\leqslant x$恒成立，则实数$m$的最大值为________．
分析与解 $4$．
$t$控制抛物线$y=x^2$的左右平移，如图：
当点$(1,1)$在函数$y=f(x+t)$的图象上时，解得$t=-3$，再通过$(x-2)^2=x$就可以得到$m=4$．
从严格的代数计算角度来说，由必要条件$$\begin{cases} f(1+t)\leqslant 1,\\f(m+t)\leqslant m,\end{cases}$$得到$$\begin{cases} -3\leqslant t\leqslant -1,\\-\sqrt m-m-1\leqslant t\leqslant \sqrt m-m-1,\end{cases} $$因为$m>1$，所以有$\sqrt m-m-1<-1$，从而当$\sqrt m-m-1\geqslant -3$时，$t$存在，解得$m\leqslant 4$．