每日一题[725]运动的向量

平面内向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$,$\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$,$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$,$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$,则$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$的取值范围是_________.


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分析与解 $\left[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1\right]$.

设$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$,$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$,$\overrightarrow c=\overrightarrow {OC}$,于是条件$(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$即$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {BC}=0.$$将直角三角形$ABC$补成一个矩形$ACBD$,如图:

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由矩形的性质知$$OA^2+OB^2=OC^2+OD^2,$$即$8=1+OD^2$,解得$OD=\sqrt 7$.又因为$AB=CD=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$,所以$$OD-OC=\sqrt 7-1\leqslant CD\leqslant OD+OC=\sqrt 7+1,$$等号可取到,所以所求范围为$[\sqrt 7-1,\sqrt 7+1]$.

另法 由题意知$A,B$在以$O$为圆心,$2$为半径的圆上运动;$C$在以$O$为圆心,$1$为半径的圆上运动,且有$AC\perp BC$,即点$C$在以$AB$为直径的圆上.$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|=AB$,下面考虑$AB$长度的取值范围.

考虑点$M$在大圆$O$(半径为$2$的圆)的一条半径上运动,过$M$作$AB\perp OM$,与大圆相交于$A,B$两点,再以$M$为圆心,$\dfrac 12AB$为半径作圆$M$,若圆$M$与小圆$O$(半径为$1$的圆)有公共点,则对应的$A,B$满足要求.

于是得到两个临界情况,$AB$取到最小值时见下图左:

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记$r=\dfrac 12AB$,在$\triangle OAM$中,有$r^2+(r+1)^2=2^2$,解得$r=\dfrac{\sqrt 7-1}{2}$.

$AB$取到最大值时的情况见上图右.

在$\triangle OAM$中,有$r^2+(r-1)^2=2^2$,解得$r=\dfrac{\sqrt 7+1}{2}$,于是得到$AB=2r$的取值范围.

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