已知$n\in\mathbb N^*$，且$1000n$恰好有$1000$个约数，则$n$的约数个数的最小值为________．
已知函数$f(x)=-x^2-2x$，$g(x)=\begin{cases} x+\dfrac 1{4x},&x>0,\\ x+1,&x\leqslant 0.\end{cases}$若方程$g(f(x))-a=0$有$4$个实数解，则$a$的取值范围是_______．
若存在实数$m,n$使函数$f(x)=\sqrt{x+3}+k$的定义域为$[m,n]$，值域为$[-n,-m]$，则实数$k$的取值范围是_______．
1．(2009年北京市崇文区一模)直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数$f(x)$的图象恰好通过$k$($k\in\mathcal N^*$)个格点，则称$f(x)$为$k$阶格点函数．下列函数：
(1) $f(x)=\sin x$；
(2) $f(x)=\pi (x-1)^2+3$；
(3) $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x$；
(4) $f(x)={\log_{0.6}}x$．
其中是$1$阶格点函数的有______．
已知$f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$，$g(x)=\left(\dfrac 2x-1\right)\ln(x-2)+\dfrac{\ln x-1}x+1$，求证：$f(x)$的最小值与$g(x)$的最大值相等．
设$\alpha\in\mathbf R$，若$\left\{ x \,\big|\, \left|\sin x\right|^{\alpha}+\left|\cos x\right|^{\alpha}=1\right\}\subseteq\left\{x \mid \sin^4 x+\cos ^4x=1\right\}$，则$\alpha$的取值范围是________．
已知函数$f(x)=ax^2+4x-2$，当实数$a$变化时，有$\forall x\in [m,0],|f(x)|\leqslant 4$，则$m$的最小值是_______，此时$a$的值是_______．
