每日一题[744]分式函数的值域

求函数$y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$的值域.


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分析与解 法一 
注意到函数为定义在$\mathbb R$上的奇函数,而\[\begin{split} \left|\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}\right|&=\dfrac 12\left|\dfrac{2x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\&\leqslant \dfrac 12\left|\dfrac{\dfrac 12\left[4x^2+\left(x^2-1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\&=\dfrac 14,\end{split} \]于是函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$.

法二 函数即$$\dfrac 12\cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+1},$$于是令$x=\tan \dfrac \theta 2$,则$$y=-\dfrac 12\sin\theta\cos\theta=-\dfrac 14\sin 2\theta,$$于是所求函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$.

法三 当$x=0$或$x=1$时,$y=0$.当$x\ne 0$且$x\ne 1$时,有$$y=\dfrac{x-\dfrac 1x}{x^2+\dfrac 1{x^2}+2}=\dfrac{x-\dfrac 1x}{\left(x-\dfrac 1x\right)^2+4}=\dfrac{1}{\left(x-\dfrac 1x\right)+\dfrac{4}{x-\dfrac 1x}},$$由于$x-\dfrac 1x$的取值范围是$\mathbb R^*$,于是所求函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$.

思考与总结 注意从不同的角度观察代数式的结构.


最后给出一道练习:

练习 已知函数$f(x)=\dfrac{2x^2+bx+c}{x^2+1}$($b<0$)的值域为$[1,3]$,则$b=$______,$c=$______.

答案 $-2$,$2$.

分析 注意到函数$f(x)$的值域关于$2$对称,考虑$$f(x)=2+\dfrac{bx+c-2}{x^2+1},$$可得$c=2$.进而当$x\neq 0$时,有$$f(x)=2+\dfrac{b}{x+\dfrac 1x},$$于是$b=2$(舍去)或$b=-2$.

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