每日一题[749]约数有多少

已知$n\in\mathbb N^*$,且$1000n$恰好有$1000$个约数,则$n$的约数个数的最小值为________.


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分析与解 设$n=p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$,其中$p_i$($i=1,2,\cdots ,k$)都是互不相等质数,且$x_i$($i=1,2,\cdots ,k$)都是正整数,于是$$1000n=2^3\cdot 5^3\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}.$$

情形一 $2$和$5$均不是$n$的约数.

此时$1000n$的约数个数是$$(3+1)(3+1)(x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$这不可能.

情形二 $2$和$5$中的一个是$n$的约数(不妨设对应的$p_i$为$p_1$).

此时$1000n$的约数个数是$$(3+1)(x_1+3+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$于是$$(x_1+4)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=250,$$此时$n$的约数个数为$$(x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)=(x_1+1)\cdot \dfrac{250}{x_1+4}=250-\dfrac{750}{x_1+4}\geqslant 100,$$等号当$x_1=1$时取得.

情形三 $2$和$5$均为$n$的约数(不妨设对应的$p_i$为$p_1,p_2$).

此时$1000n$的约数个数是$$(x_1+3+1)(x_2+3+1)\cdots (x_k+1)=1000,$$于是$$(x_1+4)(x_2+4)\cdots (x_k+1)=1000,$$此时$n$个约数个数为\[\begin{split} (x_1+1)(x_2+1)\cdots (x_k+1)&=(x_1+1)(x_2+1)\cdot\dfrac{1000}{(x_1+4)(x_2+4)}\\&=40\left(5-\dfrac{15}{x_1+4}\right)\left(5-\dfrac{15}{x_2+4}\right)\\&\geqslant 160,\end{split} \]等号当$x_1=x_2=1$时取得.

综上所述,$n$的约数个数的最小值为$100$.


下面给出一道练习:

练习 只由$1,2,3$组成的不大于$1$亿的正整数中,能够被$3$整除的数的个数是______ .

答案 $3280$.

只由$1,2,3$组成的$n$位数有$3^n$个,其中不大于$1$亿的个数为$$3^1+3^2+\cdots +3^8=9840.$$把它们从小到大排成一列(类似于进制数):$$1,2,3,11,12,13,21,22,23,\cdots ,33333331,33333332,33333333.$$将它们三个三个分组可得每组中有且仅有一个$3$的倍数,因此所求的正整数有$\dfrac {9840}3=3280$个.

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