每日一题[742]探寻边界

已知函数$f(x)=ax^2+4x-2$,当实数$a$变化时,有$\forall x\in [m,0],|f(x)|\leqslant 4$,则$m$的最小值是_______,此时$a$的值是_______.


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分析与解 $-3$,$2$.

先猜到取最小值的情形,如图,有$$\dfrac{4a\cdot(-2)-16}{4a}=-4,$$解得$a=2$,从而得到$m=-3$.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-12-%e4%b8%8b%e5%8d%882-21-22下面证明$-3$为$m$的最小值:

若$a=0$,容易求得$m$的最小值为$-\dfrac 12$;

若$a<0$,则$f(x)$在$[m,0]$上单调递增,因为$f(-1)=a-6<-6<-4$,所以$m>-1>-3$;

若$a>0$,存在$a$使得$m<-3$,则根据题意有$$\begin{cases} f(-1)=a-6>-4,\\f(-3)=9a-14<4,\end{cases} $$解得$2<a<2$,无解,所以$m\geqslant -3$.

由上面的函数知,$-3$可以取到,所以$-3$是所求的$m$的最小值.

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