已知函数$f(x)=ax^2+4x-2$,当实数$a$变化时,有$\forall x\in [m,0],|f(x)|\leqslant 4$,则$m$的最小值是_______,此时$a$的值是_______.
分析与解 $-3$,$2$.
先猜到取最小值的情形,如图,有$$\dfrac{4a\cdot(-2)-16}{4a}=-4,$$解得$a=2$,从而得到$m=-3$.
下面证明$-3$为$m$的最小值:
若$a=0$,容易求得$m$的最小值为$-\dfrac 12$;
若$a<0$,则$f(x)$在$[m,0]$上单调递增,因为$f(-1)=a-6<-6<-4$,所以$m>-1>-3$;
若$a>0$,存在$a$使得$m<-3$,则根据题意有$$\begin{cases} f(-1)=a-6>-4,\\f(-3)=9a-14<4,\end{cases} $$解得$2<a<2$,无解,所以$m\geqslant -3$.
由上面的函数知,$-3$可以取到,所以$-3$是所求的$m$的最小值.