每日一题[745]形异神似

已知$f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$,$g(x)=\left(\dfrac 2x-1\right)\ln(x-2)+\dfrac{\ln x-1}x+1$,求证:$f(x)$的最小值与$g(x)$的最大值相等.


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分析与解 函数$f(x)$的导函数$$f'(x)={\rm e}^x\left(x^2+2x\right)-\dfrac 1x,$$于是其极小值点$x=m$满足$${\rm e}^m\left(m^2+2m\right)-\dfrac 1m=0,$$也即$$m+2\ln m+\ln (m+2)=0,$$函数$f(x)$的极小值,亦为最小值为$$f(m)=m^2{\rm e}^m-\ln m=m^2\cdot \dfrac{1}{m^2(m+2)}-\ln m=\dfrac{1}{m+2}-\ln m.$$
另一方面,令$t=x-2>0$,函数$g(x)$的最大值即函数$$h(x)=\dfrac{-x\ln x+\ln (x+2)+x+1}{x+2}$$的最大值.函数$h(x)$的导函数$$h'(x)=-\dfrac{x+2\ln x+\ln (x+2)}{(x+2)^2}.$$
于是其极大值点$x=n$满足$$n+2\ln n+\ln (n+2)=0,$$函数$h(x)$的极大值,亦为最大值为\[\begin{split} h(n)&=\dfrac{-n\ln n+\ln (n+2)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{-n\ln n+(-n-2\ln n)+n+1}{n+2}\\ &=\dfrac{1}{n+2}-\ln n.\end{split} \]
由于函数$\varphi(x)=x+2\ln x+\ln (x+2)$单调递增,于是$m=n$,进而原命题得证.

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