每日一题[741]对数列的规划

已知等比数列$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1\in (0,1)$,$a_2\in (1,2)$,$a_3\in (2,3)$,则$a_4$的取值范围是_______.


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分析与解 $\left(2^{\frac 32},9\right)$.

根据题意,等比数列的首项和公比均为正数,设$x=\ln a_1$,$y=\ln \dfrac{a_2}{a_1}$,则$$\begin{cases} x<0,\\ 0<x+y<\ln 2,\\ \ln 2<x+2y< \ln 3,\end{cases} $$求${\rm e}^{x+3y}$的取值范围,这是一个典型的线性规划问题,可行域如图.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%8810-11-43容易求得$A\left(-\ln 3,\ln 3\right)$,$B\left(-\ln 2,\ln 2\right)$,$C\left(0,\dfrac 12\ln 2\right)$,$D\left(0,\dfrac 12\ln 3\right)$,因此不难得到$$\dfrac 32\ln 2<x+3y<2\ln 3,$$因此所求的取值范围是$\left(2^{\frac 32},9\right)$.

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