已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=a$($x_1< x_2$)，${\rm e}$是自然对数的底．求证：$x_2-x_1<2a+1+{\rm e}^{-2}$．
已知向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=2m$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2n$，求$|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$的取值范围．
已知$A$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的下顶点，若以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有$3$个，求椭圆离心率$e$的取值范围．
已知$P(x,y)$的坐标满足$\begin{cases}x\leqslant 0,\\ y>x,\\y<2x+1,\end{cases}$求$\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的取值范围．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点为$P$，过$P$作互相垂直的两条直线，分别与椭圆$E$交于不同于$P$的点$A,B$，求证：直线$AB$恒过定点．
各项均为正整数的数列$\left\{a_n\right\}$，满足$a_{n+1}=a_n+b_n$，其中$b_n$是$a_n$的末位数字，下列关于数列$\left\{a_n\right\}$的说法正确的是( )
A．如果$a_1$是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必有相同的项
B．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必没有相同的项
C．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$只有有限个相同的项
D．如果$a_1$不是$5$的倍数，那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项
已知圆周率$\pi$是无理数，函数$f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$不是周期函数．
