每日一题[993]构造与论证

设$a,d$是正整数,求证:等差数列$\{a+nd\}$($n\in\mathbb N$)中有无穷多项,它们有相同的质因数.


证明 方法一 注意到\[a(1+d)^n=a+d\cdot a\left({\rm C}_n^1+{\rm C}_n^2d+\cdots+{\rm C}_n^nd^{n-1}\right),\]因此当$n=1,2,\cdots$时,$a(1+d)^n$均为题中等差数列的项.这些项有相同的约数$1+d$,取$1+d$的质约数即为满足题意的质因数,命题得证.

方法二 因为任何两个公差为正整数的有无穷多项的等差数列中如果有两项对应相同,那么就有无数项对应相同(这是因为若$$a_i=b_m,a_j=b_n,i<j,m<n,$$则$a_{2j-i}=b_{2n-m}$,一直类推下去,可以找到无穷多项),因此只需要证明等差数列中有两项不互质.

情形一 当$a\geqslant 2$时,有$(a,a+d\cdot a)=a$满足条件;

情形二 当$a=1$时,有$(1+d,1+d(2+d))=1+d$满足条件;

因此命题得证.

 在方法二中,如果一个等差数列中有两项不互质,将这两项分别作为第一、二项(较小的作为首项)得到一个新的数列,这个数列中所有项均不互质,且这个数列与原数列有无穷多项对应相同,从而证明了命题.


下面给出一道练习:

已知$n$是合数,求证:$2^n-1$也是合数.

证明 由于当$a,b\in\mathbb N^*$且$a,b\geqslant 2$时,有\[\begin{split} 2^{ab}-1=&[(2^a-1)+1]^b-1\\=&\left(2^a-1\right)\left[(2^a-1)^{b-1}+{\rm C}_b^1(2^a-1)^{b-2}+\cdots+{\rm C}_b^{b-1}\right],\end{split} \]于是原命题得证.

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