每日一题[991]左右不逢源

在$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13$共$13$个数中挑出$k$个数,使得这$k$个数中任意两个的差都不是$5$和$8$,则$k$的最大值是_______.


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正确答案是$6$.

分析与解 如图.将$13$个数排成一圈,其中任何相邻的数都不能同时取.从$1$开始逆时针顺序把数染成实心和空心,则所有空心圈对应的数符合题意,共$6$个.且若$k$超过$6$个,则必然会出现两个数相邻,因此$k$的最大值为$6$.


下面给出一道练习:

在不超过 $99$ 的正整数中选出 $50$ 个不同的正整数,已知这 $50$ 个数中任两个的和都不等于 $99$,也不等于 $100$.这 $50$ 个数的和可能等于_______.

 $3725$;

可以将这$99$个数排成一圈,从$1$开始,将$1$染成实心点,与$1$的和为$99$或$100$的点染成空心点,与空心点和为$99$或$100$的点染成实心点,如下图:

满足条件的$50$个数只可能为所有标为空心点的数,即$50,51,52,\cdots,98,99$,所以它们的和为$$50+51+\cdots+98+99=3725.$$

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