设$P$为曲线$C_1$上的动点，$Q$为曲线$C_2$上的动点，则称$|PQ|$的最小值为曲线 $C_1,C_2$之间的距离，记作$d\left(C_1,C_2\right)$．
(1)若\[C_1:x^2+y^2=2,\ C_2:(x-3)^2+(y-3)^2=2,\]则$d\left(C_1,C_2\right)=$_______；
(2)若\[C_3:\mathrm{e}^x-2y=0,\ C_4:\ln x+\ln 2=y,\]则$d\left(C_3,C_4\right)=$_______．
中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为$a,b,c$，其中$a>b>c$且$a,b,c\in \mathbb{N}^{*}$；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为$26$分，乙和丙最后得分都为$11$分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是( )
A．$a=4$
B．甲可能有一场比赛获得第二名
C．乙有四场比赛获得第三名
D．丙可能有一场比赛获得第一名
已知函数\[f(x)=\begin{cases}\log_ax,&x>0,\\|x+3|,&-4 \leqslant x<0,\end{cases}\]其中$a>0$且$a\ne 1$．若函数$f(x)$的图象上有且只有一对点关于$y$轴对称，则$a$的取值范围是______．
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设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$，$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$，则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”．
(1) 当$n=3$时，判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”，说明理由；
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”，证明：$m-n-3\geqslant 0$；
(3) 给定正整数$n$，求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值．
已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$，其中$a\in\mathbb R$．
(1)求函数$f'(x)$的零点个数；
(2)证明：$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件．
在平面直角坐标$xOy$中，抛物线$C$的顶点是原点，以$x$轴为对称轴，且经过点$P(1,2)$．
(1) 求抛物线$C$的方程；
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上，直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$，$|PM|=|PN|$，求直线$AB$的斜率．
已知$a,b,c\geqslant 0$，$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$．
我搞数学教研到现在已经八年时间了．在这八年时间里我学习进步了很多，非常充实快乐同时也非常辛苦．早就打算把自己的心得体会系统的写出来，但诸事加身，断断续续也没写多少．
函数$f(x)=x|x|$．若存在$x\in[1,+\infty)$，使得$f(x-2k)-k<0$，则$k$的取值范围是( )
A．$\left(2,+\infty\right)$
B．$\left(1,+\infty\right)$
C．$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$
