对于$n$维向量$A=\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)$，若对任意$i\in\{1,2,\cdots,n\}$均有$a_i=0$或$a_i=1$，则称$A$为$n$维$T$向量．对于两个$n$维$T$向量$A,B$，定义$d(A,B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|a_i-b_i\right|$．
(1) 若$A=(1,0,1,0,1)$，$B=(0,1,1,1,0)$，求$d(A,B)$的值；
(2) 现有一个$5$维$T$向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若$A_1=(1,1,1,1,1)$，且对任意正整数$i$，均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=2$，求证：该序列中不存在$5$维$T$向量序列$(0,0,0,0,0)$；
(3) 现有一个$12$维$T$向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若$A_1=(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{12\,\text{个}})$，$A_j=(\underbrace{0,0,\cdots,0}_{12\,\text{个}})$，$j\in \mathbb{N}^{*}$，且存在正整数$m$，使得对任意正整数$i$，均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=m$，求出所有可能的$m$．
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一列正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$满足每个数都能整除之后的数，即$a_n\mid a_{n+1}$，则它们模$30$的余数最多可能有多少种不同的取值？
已知$a,b\in \left[1,\sqrt 3\right]$，则$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$的取值范围是______．
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在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且$\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=2$，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$，则$b^2-ab$的最小值为_______．
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对于无穷数列$\left\{a_n\right\}$，记$T=\left\{x\left|\ x=a_j-a_i,\ i<j\right.\right\}$，若数列$\left\{a_n\right\}$满足：存在$t\in T$，使得只要$a_m-a_k=t$（$m,k\in \mathbb{N}^{*}$且$m>k$），必有$a_{m+1}-a_{k+1}=t$，则称数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(t)$．
(1) 若数列$\left\{a_n\right\}$满足\[a_n=\begin{cases}2n,&n \leqslant 2,\\2n-5,&n \geqslant 3,\end{cases}\]判断数列$\left\{a_n\right\}$是否具有性质$P(2)$？是否具有性质$P(4)$？（只需写出判断结果）
(2) 求证：$T$是有限集是数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(0)$的必要不充分条件；
(3) 已知$\left\{a_n\right\}$是各项均为正整数的数列，且$\left\{a_n\right\}$既具有性质$P(2)$，又具有性质$P(5)$，求证：存在整数$N$，使得$a_N,a_{N+1},a_{N+2},\cdots$是等差数列．
设$a<0$，且$\forall x\in (a,b),\left(x^2+2017a\right)(x+2016b)\geqslant 0$，则$b-a$的最大值为_______．
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已知函数$f(x)=(x-a)^2\ln x$，$a\in\mathbb R$．
(1) 若$a=3\sqrt{\rm e}$，求函数$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$的单调区间；
(2) 若函数$f(x)$既有极大值，又有极小值，求实数$a$的取值范围．
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1．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分，虚线分别表示正方形、圆、正三角形和圆)的周率从左到右依次记为$\tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4$，则它们从小到大的排列为_______．
