每日一题[974]数列的新定义问题

对于无穷数列$\left\{a_n\right\}$,记$T=\left\{x\left|\ x=a_j-a_i,\ i<j\right.\right\}$,若数列$\left\{a_n\right\}$满足:存在$t\in T$,使得只要$a_m-a_k=t$($m,k\in \mathbb{N}^{*}$且$m>k$),必有$a_{m+1}-a_{k+1}=t$,则称数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(t)$.
(1) 若数列$\left\{a_n\right\}$满足\[a_n=\begin{cases}2n,&n \leqslant 2,\\2n-5,&n \geqslant 3,\end{cases}\]判断数列$\left\{a_n\right\}$是否具有性质$P(2)$?是否具有性质$P(4)$?(只需写出判断结果)
(2) 求证:$T$是有限集是数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(0)$的必要不充分条件;
(3) 已知$\left\{a_n\right\}$是各项均为正整数的数列,且$\left\{a_n\right\}$既具有性质$P(2)$,又具有性质$P(5)$,求证:存在整数$N$,使得$a_N,a_{N+1},a_{N+2},\cdots$是等差数列.


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分析与解 (1) 数列$\left\{a_n\right\}$不具有性质$P(2)$,具有性质$P(4)$.

(2) 不充分性 对于周期数列\[1,1,2,2,1,1,2,2,\cdots,\]$T=\{0,1\}$是有限集,但是由于$a_2-a_1=0$,$a_3-a_2=1$,所以不具有性质$P(0)$.

必要性 因为数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(0)$,所以一定存在
$m,k\in \mathbb{N}^{*}$且$m>k$,满足$a_m-a_k=0$,即$a_m=a_k$.

记$d=m-k\in \mathbb{N}^{*}$,由性质$P(0)$的含义可得对任意$n\in \mathbb{N}^{*}$,均有\begin{align*}a_{k}&=a_{k+nd},\\a_{k+1}&=a_{k+1+nd},\\
&\vdots\\a_{m-1}&=a_{m-1+nd},\end{align*}所以数列$\left\{a_n\right\}$中至多有$m-1$个不同的项,进而集合$T$中至多有$\mathrm{C}_{m-1}^{2}+1$个元素,
故$T$是有限集.

(3) 设$a_{m_1}-a_{k_1}=2$,$a_{m_2}-a_{k_2}=5$,$d_1=m_1-k_1$,$d_2=m_2-k_2$,$m=\max\{m_1,m_2\}$.不影响问题的本质,将$a_1,a_2,\cdots,a_{m-1}$从数列$\{a_n\}$中去掉,然后将所有项都减去$a_m$得到新的数列,记为\[\{a_n\}:0,a_1,a_2,\cdots,\]那么有\[a_{kd_1}=2k,a_{kd_2}=5k,\]考虑到\[a_{kd_1d_2}=2kd_2=5kd_1,k\in\mathbb N,\]于是$d_1=2t$,$d_2=5t$,其中$t\in\mathbb N^*$.这样我们就有\[a_{2kt}=2k,a_{5kt}=5k,k\in\mathbb N.\]接下来证明$a_{kt}=k$($k\in\mathbb N$).由于\[a_{n+kt}=a_{n+5kt-2kt-2kt}=a_n+5k-2k-2k=a_n+k,\]因此用数学归纳法可知该命题成立.也可以令$n=kt$得到$a_{kt}=k$.
最后我们证明$t=1$.设$a_1=p$,那么必然存在$x\in\mathbb N$,使得$a_{1+xt}=y\in\mathbb{N}$,从而有\[y=a_{yt}=a_{1+xt}.\]此时考虑到\[a_{yt+2t}-a_{1+xt}=a_{yt+2t}-a_{yt}=2,\]记\[(yt+2t)-(1+xt)=d,\]那么\[a_{yt+d\cdot 2t}=a_{yt}+2\cdot 2t=a_{yt}+2\cdot d,\]因此$d=2t$,从而$(y-x)t=1$,这就意味着$t=1$.
综上所述,原命题得证.

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