每日一题[978]切线放缩

求证:${\rm e}^x-2x\ln x-x>1$.


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分析与解        题中不等式即\[\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}> 2\ln x+1.\]取左边函数在$x=1$处的切线,有\[\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2.\]取右边函数在$x=2$处的切线,有\[2\ln x+1\leqslant x+2\ln 2-1,\]因此\[\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2>x+2\ln 2-1\geqslant 2\ln x+1,\]原不等式得证.

       要证明$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2$,只需要构造$f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}-x$,则$$f'(x)=\dfrac {({\rm e}^x-x-1)(x-1)}{x^2},$$从而知$f(x)$在$(0,1)$上单调递减,在$(1,+\infty)$上单调递增,于是$$f(x)\geqslant f(1)={\rm e}-2.$$
要证明$2\ln x+1\leqslant x+2\ln 2-1$,只需要构造$g(x)=2\ln x+1-x,$则$$g'(x)=\dfrac 2x-1=\dfrac {2-x}{x},$$从而知$$g(x)\leqslant g(2)=2\ln 2-1.$$

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