每日一题[976]各有千秋

已知$a,b\in \left[1,\sqrt 3\right]$,则$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$的取值范围是______.


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正确答案是$\left[1,\sqrt 3\right]$.

分析与解 法一 一方面,有\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}\geqslant \dfrac{2ab-1}{ab}=2-\dfrac{1}{ab}\geqslant 1,\]等号当$(a,b)=(1,1)$时取得.因此所求代数式的最小值为$1$.

另一方面,由于\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac ab+\dfrac{b-\dfrac 1b}{a}\leqslant \max\left\{b,\dfrac b{\sqrt 3}+\dfrac{2}{\sqrt 3b}\right\}\leqslant \sqrt 3,\]等号当$(a,b)=\left(1,\sqrt 3\right)$时取得.因此所求代数式的最大值为$\sqrt 3$.

综上所述,所求代数式的取值范围是$\left[1,\sqrt 3\right]$.

法二 设$a,b,1$是$\triangle ABC$的三边,则\[\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=2\cos C.\]如图,点$C$在区域$DEFG$中运动.而区域$DEFG$一方面在$\triangle ABE$的外接圆外部(包含边界),一方面在四边形$ABDF$的外接圆内部(包含边界).因此当$C$点位于$E$点位置时,$2\cos C$最小为$1$,当$C$点位于$D,F$位置时$C$最小,$2\cos C$最大,为$\sqrt 3$.

综上所述,所求代数式的取值范围是$\left[1,\sqrt 3\right]$.

 法一中第二个不等式,考虑的是关于$a$的对勾函数$m(a)=\dfrac ab+\dfrac {b-\frac 1b}{a}$的最值得到的.

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