每日一题[975]限制条件下的最值

在$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且$\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=2$,$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$,则$b^2-ab$的最小值为_______.


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分析与解 根据题意及平行四边形的性质,有\[\begin{cases}4+b^2=2\left(a^2+c^2\right),\\ \dfrac 12\left(b^2+c^2-a^2\right)=2,\end{cases}\]于是\[2c^2=-2a^2+b^2+4=2a^2-2b^2+8,\]因此$3b^2-4a^2=4$.设$b^2-ab=x$,则有\[\dfrac{x}{4}=\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2},\]即\[(3x-4)b^2+4ab-4xa^2=0,\]也即\[(3x-4)\left(\dfrac ba\right)^2+4\left(\dfrac ba\right)-4x=0,\]考虑判别式,有\[16+16x(3x-4)\geqslant 0,\]于是$x\leqslant \dfrac 13$或$x\geqslant 1$.

当$x\leqslant \dfrac 13$时,有$$\dfrac{b^2-ab}{3b^2-4a^2}\leqslant \dfrac 1{12}\Rightarrow (2a-3b)^2\leqslant 0,$$此时$3b^2-4a^2\leqslant 0$,不可能,所以$x\geqslant 1$.经验证,当$\left(a,b,c\right)=\left(\dfrac{\sqrt 2}2,\sqrt 2,\dfrac{5\sqrt 2}2\right)$时,$x=1$.因此所求的最小值为$1$.

 事实上,我们有\[b^2-ab=\dfrac 14b^2+1+a^2-ab=\left(\dfrac 12b-a\right)^2+1\geqslant 1,\]等号当$b=2a$时取得.

如何配凑系数?可以通过待定系数法,因为$$3b^2-4a^2+\lambda(b^2-ab)=4+\lambda x=(3+\lambda)b^2-\lambda ab-4a^2,$$由判别式$$\Delta=\lambda^2+16(3+\lambda)=0,$$得到$\lambda=-4$或$\lambda=-12$,将$\lambda=-4$代入得$$4-4x=-(2a-b)^2\leqslant 0,$$从而有$x\geqslant 1$,当$2a=b$时取到等号.

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