每日一题[973]必要条件探路

设$a<0$,且$\forall x\in (a,b),\left(x^2+2017a\right)(x+2016b)\geqslant 0$,则$b-a$的最大值为_______.


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正确的答案是$2017$.

分析与解 若$b>0$,则$0\in(a,b)$,令$x=0$得$$\left(0^2+2017a\right)(0+2016b)\geqslant 0,$$从而得到$b\leqslant 0$,所以$b\leqslant 0$.

根据题意,必然有\[\left(a^2+2017a\right)(a+2016b)\geqslant 0,\]于是$a^2+2017a\leqslant 0$,进而$-2017\leqslant a<0$.因此\[b-a\leqslant 0-(-2017)=2017.\]当$(a,b)=(-2017,0)$时,题中不等式即\[x\left(x^2-2017^2\right)\geqslant 0,\]符合题意.

综上所述,$b-a$的最大值为$2017$.

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