每日一题[977]翻杯子

对于$n$维向量$A=\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)$,若对任意$i\in\{1,2,\cdots,n\}$均有$a_i=0$或$a_i=1$,则称$A$为$n$维$T$向量.对于两个$n$维$T$向量$A,B$,定义$d(A,B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|a_i-b_i\right|$.
(1) 若$A=(1,0,1,0,1)$,$B=(0,1,1,1,0)$,求$d(A,B)$的值;
(2) 现有一个$5$维$T$向量序列:$A_1,A_2,A_3,\cdots$,若$A_1=(1,1,1,1,1)$,且对任意正整数$i$,均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=2$,求证:该序列中不存在$5$维$T$向量序列$(0,0,0,0,0)$;
(3) 现有一个$12$维$T$向量序列:$A_1,A_2,A_3,\cdots$,若$A_1=(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{12\,\text{个}})$,$A_j=(\underbrace{0,0,\cdots,0}_{12\,\text{个}})$,$j\in \mathbb{N}^{*}$,且存在正整数$m$,使得对任意正整数$i$,均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=m$,求出所有可能的$m$.

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分析与解 (1) $4$.

(2) 用反证法,若存在符合题意的序列且$A_{k+1}=(0,0,0,0,0)$,$k\in\mathbb N^*$.设向量$A_1$的每个分量变化的次数分别为\[2k_1+1,2k_2+1,2k_3+1,2k_4+1,2k_5+1,\]其中$k_1,k_2,k_3,k_4,k_5\in\mathbb N$.这样就有\[2k=\left(2k_1+1\right)+\left(2k_2+1\right)+\left(2k_3+1\right)+\left(2k_4+1\right)+\left(2k_5+1\right),\]左边为偶数,右边为奇数,矛盾.因此原命题得证.

(3)引理1 对$n$维$T$向量序列,$m$取$n$的正约数时符合题意.

引理2 对$n$维$T$向量序列,当$n$为偶数时,$m=n-1$符合题意;当$n$为奇数时,$m=n-2$符合题意.

引理3 对$n$维$T$向量序列,当$n$为偶数时,$m=2$符合题意,进一步当$m\leqslant n-2$也符合题意.

引理4 对$n$维$T$向量序列,当$n$为奇数时,那么$m$必然为奇数.

其中引理2的证明如下:当$n$为偶数时,第$i$次操作除$i$分量外的其它所有分量,经过$n$次操作后,每个分量被操作了$n-1$次,恰好都发生改变;

当$n$是奇数时,第$i$次操作除$i,i+1$分量外的其它所有分量(其中第$n$次操作除第$n,1$分量外的所有分量),经过$n$次操作后,每个分量被操作了$n-2$次,恰好都发生改变.

其中引理3的证明如下:两次操作除了想要变换的两个分量之外都操作相同的分量(即每次操作一个想变换的分量加上$m-1$个相同分量),这样两次操作就相当于一次$m=2$的操作.

根据以上引理,显然所有可能的$m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$.

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