每日一题[1433]权方和

已知 $a,b,c>0$,且 $2a^2+b^2=9c^2$,则 $m=\dfrac{2c}{a}+\dfrac cb$ 的最小值为_______.

答案    $\sqrt 3$.

解析    根据题意,有\[\begin{split} m&=\dfrac {\left(2c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(2a^2)^{\frac 12}}+\dfrac {\left(c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(b^2)^{\frac 12}}\\ &\geqslant \dfrac{\left(2c^{\frac 23}+c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{\left(2a^2+b^2\right)^{\frac 12}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2c^{\frac 23}}{2a^2}=\dfrac{c^{\frac 23}}{b^2}\]时取得,因此所求最小值为 $\sqrt 3$.

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