每日一题[1439]完全平方数

是否存在正整数 $x,y$,使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数?

答案 不存在.

解析 不妨设 $x\leqslant y$,$y^2+x=m^2$,则\[\begin{cases} m^2=y^2+x>y^2,\\ m^2=y^2+x\leqslant y^2+y<(y+1)^2,\end{cases}\]因此不存在符合题意的整数 $m$,进而不存在符合题意的正整数 $x,y$.

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