每日一题[1437]统一起点

在 $\triangle{ABC}$ 中,已知 $6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$,则 $\angle A=$ ( )

A.$30^{\circ}$

B.$45^{\circ}$

C.$60^{\circ}$

D.$135^{\circ}$

答案 D.

解析 统一起点,有\[6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \left(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}\right)=-3\left(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \overrightarrow{AC},]于是[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-\dfrac 12 AB^2=-AC^2,\]从而\[\cos A=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=-\dfrac{\sqrt 2}2,\]于是 $A=135^\circ$.

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