每日一题[1434]处理绝对值

已知 $a,b,c\in\mathbb R$,求证:$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$,并指出等号取得的条件.

解析    当 $abc=0$ 时,有\[|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=|a+b|+|b+c|+|c+a|,\]命题成立. 当 $abc\ne 0$ 时,不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$,只需要证明 $a\geqslant b\geqslant c>0$ 和 $a\geqslant b>0>c$ 的情形.当 $a\geqslant b\geqslant c>0$ 时,显然有\[|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=|a+b|+|b+c|+|c+a|,\]命题成立.当 $a\geqslant b>0>c$ 时,命题等价于\[|c|+|a+b+c|\geqslant |b+c|+|c+a|.\]此时若 $a+b+c\geqslant 0$,则右边可能的取值为 $a+b+2c,a-b,b-a$,而左边取值为 $a+b$,命题成立.若 $a+b+c<0$,则不等式等价于\[|c|\geqslant -c,\]命题成立. 综上所诉,命题得证,且取等条件为 $abc=0$ 或 $a,b,c$ 同号或同号的两个数和的绝对值小于第三个数的绝对值.

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