已知数列 \(\{a_n\}\) 满足对任意正整数 \(n\in\mathbb N^{\ast}\)，都有 \(a_n>0\) 且 \(a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2\)．
（1）求证：\(a_{n+2}<a_{n+1}<2\)；
（2）求证：\(a_n>1\)．
练习题集[99]基础练习
1．设函数$f(x)=ax+\sin x+\cos x$，若函数$f(x)$的图象上存在不同的两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$使得函数$y=f(x)$在点$A,B$处的切线互相垂直，则实数$a$的取值范围为_______．
每日一题[1062] P 子集
已知集合 $$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing $（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集．
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$，并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$；
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集，设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$，求证：任意 $x,y\in T\cup T'$，$x>y$，都有 $x-y\notin T\cup T'$；
(3)求证：对任意正整数 $n\geqslant 2$，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$．
每日一题[1061]信手拈来
过点 \(A(-4,0)\) 向椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 引两条切线，切点分别为 \(B,C\)，若 \(\triangle ABC\) 为正三角形，则当 \(ab\) 最大时，椭圆的方程是____________．
每日一题[1060]内接正三角形
如图，在 \(\triangle AOB\) 中，\(\angle AOB=90^\circ\)，\(OA=1\)，\(OB=\sqrt 3\)，等边 \(\triangle EFG\) 的三个顶点分别在 \(\triangle AOB\) 的三边上运动，则 \(\triangle EFG\) 边长的最小值为（ ）
A．\(\dfrac12\)
B．\(\dfrac 23\)
C．\(\dfrac{\sqrt{21}}7\)
D．\(\dfrac{\sqrt 6}4\)
每日一题[1059]抽丝剥茧
已知 \(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{(x+1)^a}\)，其中 \(a>0\)．若 \(\forall x>0,f(x)<0\)，求实数 \(a\) 的取值范围．
每日一题[1058]二次复二次
已知函数 \(f(x)=ax^2+2x+1\)，若对任意 \(x\in\mathbb R\)，都有 \(f(f(x))\geqslant 0\) 恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围是________．
每日一题[1057]二元最值
已知 \(x,y>0\)，求 \(m=6\left(x^2+y^2\right)(x+y)-4\left(x^2+xy+y^2\right)-3(x+y)+5\) 的最小值．
每日一题[1056]无招胜有招
已知坐标平面 \(xOy\) 内椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）上一点 \(P(x_0,y_0)\)，\(F_1,F_2\) 是椭圆的两个焦点，过 \(F_1,F_2\) 作椭圆在 \(P\) 点处切线的垂线，垂足分别为 \(M,N\)．
（1）求证：点 \(M,N\) 在定圆上；
（2）求 \(MF_1\cdot NF_2\) 的值．