已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\)，\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\)，直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\)，现有如下命题：
① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\)；
② 在 \([2,4]\) 上，函数在 \(x=3\) 处取得最大值；
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\)；
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点．
上述命题中，正确的命题是__________．
在棱长 $1$ 为正四面体 $D-ABC$ 中，$O$ 为 $\triangle ABC$ 的中心，过点 $O$ 作直线分别与线段 $AC,BC$ 交于 $M,N$（可以是线段的端点），连接 $DM$，点 $P$ 为 $DM$ 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某一位置，使得 $NP\perp$ 面 $DAC$
B．$\triangle DMN$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$
C．$\tan^2\angle DMN+\tan^2\angle DNM$ 的最小值为 $12$
D．棱锥 $D-MNC$ 与棱锥 $D-MNBA$ 的体积之比的取值范围是 $\left[\dfrac 45,1\right]$
已知函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\)（\(a>0\)），若对任意的 \(m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]\)，长为 \(f(m),f(n),f(p)\) 的三条线段均可以构成三角形，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
已知函数 \(f(x)=x^3+px^2+qx\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(\left(x_0,0\right)\)（\(x_0\ne 0\)），且极小值为 \(-4\)，则 \(p+q\) 的值是（ ）
A．\(12\)
B．\(13\)
C．\(15\)
D．\(16\)
已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点，平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$，则动点 $M$ 运动的区域面积是______．
1．已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$．
已知二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 满足 \(|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|\) 均不大于 \(1\)，则当 \(x\in [-1,1]\) 时，\(|f(x)|\) 的最大值 \(M(a,b,c)\) 的最大值是________．
已知 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(1\)，\(AB\) 的平行线分别交 \(AC,BC\) 于 \(D,E\)，连接 \(BD\)，\(\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA\) 的面积分别记为 \(S_1,S_2,S_3\)，则（ ）
A．\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac 13\)
B．\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac{3-\sqrt 5}2\)
C．\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 13\)
D．\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 14\)
注 所有选择题默认是不定项选择．
