练习题集[99]基础练习

1.设函数$f(x)=ax+\sin x+\cos x$,若函数$f(x)$的图象上存在不同的两点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$使得函数$y=f(x)$在点$A,B$处的切线互相垂直,则实数$a$的取值范围为_______.

2.已知数列$\{a_n\}$是首项为$a$,公差为$d$的等差数列,且对任意正整数$n$,均有$a_n\ne 0$,则数列$\left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\}$的前$n$项和为_______.

3.已知$(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2\cdot b$,$a,b\in\mathbb N^*$,求$a+b$的值.

4.$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2+\cdots+{\rm C}_n^2}{n\left({\rm C}_2^1+{\rm C}_3^1+\cdots+{\rm C}_n^1\right)}=$______.

5.已知向量$\overrightarrow a\perp \overrightarrow b$,$\big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\big|=2$,定义$\overrightarrow c_{\lambda}=\lambda\overrightarrow a+(1-\lambda)\overrightarrow b$,其中$0\leqslant \lambda\leqslant 1$,若$\overrightarrow c_{\lambda}\cdot \overrightarrow c_{\frac 12}=\dfrac 12$,则$\big|\overrightarrow c_{\lambda}\big|$的取值范围是________.

6.已知函数 $f(x)=x^2-1$,求函数 $f(f(f(x)))$ 的单调性.

7.已知函数 $f(x)=x^3-6x^2+12x$$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 均为非负实数,且 $\displaystyle \sum_{i=1}^{10}a_i=18$,则 $M=\displaystyle \sum_{i=1}^{10}f(a_i)$ 的最小值是________,使 $M$ 取最小值的有序数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_{10})$ 的个数为________


参考答案

1.$[-1,1]$.

问题等价于函数$f(x)$的导函数$f'(x)$的值域$D_{f'}$中,存在两个实数$x_1,x_2$,使得$x_1\cdot x_2=-1$.对于题中函数$f(x)$,有\[D_{f'}=\left[a-\sqrt{2},a+\sqrt{2}\right],\]因此$a$的取值范围由不等式\[\left(a-\sqrt{2}\right)\cdot \left(a+\sqrt 2\right)\leqslant -1\]确定,解得$a$的取值范围是$[-1,1]$.

2.$\dfrac{n}{a(a+nd)}$.

根据题意,当$d\ne 0$时,有\[\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{a_{n+1}-a_n}{a_na_{n+1}}\cdot \dfrac{1}{d}=\dfrac 1d\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\right),\]于是\[S_n=\dfrac 1d\left(\dfrac 1{a_1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}\right)=\dfrac 1d\left(\dfrac 1a-\dfrac{1}{a+nd}\right)=\dfrac{n}{a(a+nd)}.\]当$d=0$时,数列$\left\{\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right\}$是常数列,其前$n$项和为$\dfrac{n}{a^2}$,亦符合上式.

综上所述,所求的前$n$项和为$\dfrac{n}{a(a+nd)}$.

3.设$(1+\sqrt 2)^n=a_n+\sqrt 2\cdot b_n$,则考虑到\[(1+\sqrt 2)^{n+1}=\left(a_n+\sqrt 2\cdot b_n\right)(1+\sqrt 2)=a_n+2b_n+\sqrt 2\cdot \left(a_n+b_n\right),\]于是\[\begin{aligned}a_{n+1}=a_n+2b_n,\\ b_{n+1}=a_n+b_n,\end{aligned}\]进而\[\begin{aligned}a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n,\\ b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n.\end{aligned}\]容易计算得$a_1=1$,$a_2=3$,$b_1=1$,$b_2=2$,于是利用特征根法可以解得\[\begin{aligned}a_n&=\dfrac 12\left[(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n\right],\\ b_n&=\dfrac{\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^n-(1-\sqrt 2)^n\right],\end{aligned}\]因此\[\begin{split} a+b=&a_{2017}+b_{2017}=\dfrac{2+\sqrt 2}4\cdot (1+\sqrt 2)^{2017}+\dfrac{2-\sqrt 2}4\cdot (1-\sqrt 2)^{2017}\\=&\dfrac {\sqrt 2}4\left[(1+\sqrt 2)^{2018}+(1-\sqrt 2)^{2018}\right].\end{split} \]

另法 因为\[(1+\sqrt 2)^{2017}=a+\sqrt 2b,(1-\sqrt 2)^{2017}=a-\sqrt 2b,\]所以\[a=\dfrac 12[(1+\sqrt 2)^{2017}+(1-\sqrt 2)^{2017},b=\dfrac 1{2\sqrt 2}[(1+\sqrt 2)^{2017}-(1-\sqrt 2)^{2017}].\]以下同上.

4.$\dfrac 13$.

考虑到\[{\rm C}_n^k={\rm C}_{n+1}^{k+1}-{\rm C}_n^{k+1},\]于是\[\begin{split}\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2+\cdots+{\rm C}_n^2}{n\left({\rm C}_2^1+{\rm C}_3^1+\cdots+{\rm C}_n^1\right)}
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_3^3+({\rm C}_4^3-{\rm C}_3^3)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^3-{\rm C}_n^3)}{n\left[({\rm C}_3^2-{\rm C}_2^2)+({\rm C}_4^2-{\rm C}_3^2)+\cdots+({\rm C}_{n+1}^2-{\rm C}_n^2)\right]}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac{{\rm C}_{n+1}^3}{n\left({\rm C}_{n+1}^2-1\right)}\\
&=\lim_{n\to \infty}\dfrac {n+1}{3(n+2)}\\
&=\dfrac 13.\end{split}\]5.如图,$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow a$,$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow b$,$\overrightarrow{PQ_{\lambda}}=\overrightarrow c_{\lambda}$,则点$Q_{\lambda}$是$OP$的垂直平分线与直径$AB$的交点.因此$\left|\overrightarrow c_{\lambda}\right|$的取值范围是$\left[\dfrac 12,1\right]$.

6.函数 $f(x)$ $\left(-\infty,-\sqrt 2\right)$ 上单调递减,在 $\left(-\sqrt 2,-1\right)$ 上单调递增,在 $\left(-1,0\right)$ 上单调递减,在 $\left(0,1\right)$ 上单调递增,在 $\left(1,\sqrt 2\right)$ 上单调递减,在 $\left(\sqrt 2,+\infty\right)$ 上单调递增.

先考虑 $g(x)=f(f(x))$ 的单调性,即 $f\left(x^2-1\right)$ 的单调性.由于函数 $f(t)$ 单调性的分界点为 $t=0$,因此解方程\[x^2-1=0,\]可得 $x=-1_{(1)},1_{(1)}$,再加上 $t=x^2-1$ 单调性的分界点 $x=0_{(1)}$,可得所有分界点为\[-1_{(1)},0_{(1)},1_{(1)},\]因此单调性变化如下表\[\begin{array} {c|ccccc}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\ \hline g(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow\\ \hline\end{array}\]再考虑 $h(x)=g(f(x))$ 的单调性,由于函数 $g(t)$ 单调性的分界点为 $t=-1,0,1$,于是解方程\[x^2-1=-1,0,1,\]可得分界点 $x=-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(2)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)}$,再加上 $t=x^2-1$ 单调性的分界点 $x=0_{(1)}$,可得所有分界点为\[-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(3)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)},\]因此单调性变化如下表\[\begin{array} {c|cccccc}\hline x&\left(-\infty,-\sqrt 2\right)&\left(-\sqrt 2,-1\right)&\left(-1,0\right)&\left(0,1\right)&\left(1,\sqrt 2\right)&\left(\sqrt 2,+\infty\right)\\\hline h(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow \\ \hline\end{array}\] 其中 $m_{(k)}$ 表示 $m$ 是 $k$ 重根,当 $k$ 是奇数时,分界点处单调性发生改变;当 $k$ 是偶数时,分界点处单调性不会发生改变.

7.$54$$210$

如图,作函数 $f(x)$ 过原点的切线.
于是有\[\forall x\in [0,+\infty),f(x)\geqslant 3x,\]等号当且仅当 $x=0,3$ 时取得.因此\[ \sum_{i=1}^{10}f(a_i)\geqslant 3\cdot \sum_{i=1}^{10}a_i=54,\]等号当且仅当 $a_i$$i=1,2,\cdots,10$)中有 $6$ $3$ $4$ $0$ 时取得,对应有序数组的个数为 ${\rm C}_{10}^{4}=210$

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