已知数列 $\{a_n\}$ 是 $12,1122,111222,\cdots,\underbrace{11\cdots 1}_n\underbrace{22\cdots 2}_n$，试问 $\{a_n\}$ 中的任何一项是不是均能表示为两个相邻正整数的乘积．
每日一题[1295]局部等差数列
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n}=a_{n-1}+a_{\left[\frac n2\right]}$（$n\geqslant 2$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个 $7$ 的倍数．
每日一题[1294]论证与构造
已知无穷正实数数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_{i+1}<x_i$（$i=0,1,2,\cdots$）．
1、求证：对任意符合题意的数列 $\{x_n\}$，均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant 3.999$．
2、求证：存在符合题意的 $\{x_n\}$ 使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}<4$．
每日一题[1293]完全平方数
数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 的定义如下：$x_1=1$，$y_1=39$，且\[\begin{cases} x_{n+1}=23x_n+y_n+2,\\ y_{n+1}=551x_n+24y_n+64,\end{cases}\]求证：对一切正整数 $n$，$x_n$ 是完全平方数．
每日一题[1292]追本溯源
数列 $\{a_n\}$ 的定义如下：$a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n=\begin{cases} a_{\frac n2}+1,& 2\mid n,\\ \dfrac{1}{a_{n-1}},&2\nmid n,\end{cases}$ 已知 $a_m=\dfrac{30}{19}$，则正整数 $m$ 的值为_______．
每日一题[1290]先猜后证
已知 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$ 的取值范围为_______．
每日一题[1289]代数变形
已知 $x,y,z\in\mathbb C$，解方程组\[\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=3.\end{cases}\]
每日一题[1288]待定参数
已知正实数 $a,b$ 满足 $2a+2b\leqslant 15$，$\dfrac 4a+\dfrac 3b\leqslant 2$，则 $3a+4b$ 的取值范围是_______．
每日一题[1287]均值不等式
已知 $a,b,c,d>0$． 求证：$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leqslant\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}$，并指出上述不等式等号取得的充要条件．
每日一题[1286]柯西不等式
已知 $a,b\geqslant 0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}}\geqslant \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+1}}$．