每日一题[1495]海伦与阿波罗

在 $\triangle ABC$ 中,已知 $AC=3$,$\sin C=k\sin A$($k\geqslant2$),则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______.

答案      $\dfrac {9k}{2(k^2-1)}$.

解法一      根据正弦定理,有 $c=ka$,于是 $\triangle ABC$ 的三边分别为 $a,3,ka$.由海伦公式,$\triangle ABC$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12\sqrt{(a+3+ka)(-a+3+ka)(a-3+ka)(a+3-ka)}\\ &=\dfrac 12\sqrt{-(k^2-1)^2a^4+18(k^2+1)a^2-81}\\ &\leqslant \dfrac {9k}{2(k^2-1)},\end{split}\]等号当 $a=\dfrac{3\sqrt{k^2+1}}{k^2-1}$ 时取得,因此所求面积的最大值为 $\dfrac {9k}{2(k^2-1)}$.

解法二     根据题意,$B$ 到 $A$ 点的距离为到 $C$ 点距离的 $k$ 倍,于是点 $B$ 的轨迹为圆,设该圆的半径为 $r$,圆心为 $O$,则 $OA,r,OC$ 成公比为 $k$ 的等比数列,于是\[AC=OA-OC=\left(k-\dfrac 1k\right)r=3,\]从而\[r=\dfrac{3k}{k^2-1},\]因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为\[\dfrac 12\cdot AC\cdot r=\dfrac{9k}{2(k^2-1)}.\]

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