每日一题[1498]齐次

设 $a+b=1$,$b>0$,$a\neq0$,则 $\dfrac1{|a|}+\dfrac{2|a|}b$ 的最小值为_______.

答案      $2\sqrt 2-1$.

解析      本题考查均值不等式的应用.所求表达式中分子 $1$ 看作 $a+b$ 是转化关键.由已知得\[\begin{split}\dfrac{1}{\left| a \right|} + \dfrac{2\left| a \right|}{b}&=\dfrac {a+b}{|a|}+\dfrac {2|a|}b\\ &=\dfrac a{|a|}+\dfrac b{|a|}+\dfrac {2|a|}b\\ &\geqslant \dfrac a{|a|}+2\sqrt {\dfrac b{|a|}\cdot \dfrac{2|a|}b}\\ &=\dfrac a{|a|}+2\sqrt 2\\ &\geqslant 2\sqrt 2-1,\end{split}\]等号当 $ a<0$,$b=\sqrt 2|a|$ 时,即\[(a,b)=\left(-\sqrt 2-1,\sqrt 2+2\right)\]时取得.

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