每日一题[1494]换底奔驰

设点 $O$ 为三角形 $ABC$ 内一点,且满足关系式:\[\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA},\]则 $\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=$ _______.

答案     $\dfrac{11}6$.

解析      根据换底公式有\[\begin{split} RHS&=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\\ &=3\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)+2\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\right)\\ &=-2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},\end{split}\]于是\[3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]根据奔驰定理,有\[\dfrac {S_{\triangle AOB}+2S_{\triangle BOC}+3S_{\triangle COA}} {S_{\triangle ABC}}=\dfrac{2+2\cdot 3+3\cdot 1}{3+1+2}=\dfrac{11}6.\]

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