每日一题[1501]分而治之

已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$,过点 $Q\left(-\dfrac 12,0\right)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点(点 $M$ 在 $Q,N$ 之间),过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线,交 $OP$ 于 $A$,交 $ON$ 于 $B$,$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $ S_1 , S_2 $,比较 $ S_1 $ 与 $ 3S_2 $ 的大小,说明理由.

答案      $S_1 > 3S_2 $.

解析      根据题意,有 $a=1$,设 $M(m,m^2)$,$N(n,n^2)$,则直线 $MN$ 的横截距\[\dfrac{mn}{m+n}=-\dfrac 12\iff \dfrac 1m+\dfrac 1n=-2,\]且 $m\in\left(-\dfrac 12,0\right)$,进而\[\begin{split} MN&:y=(m+n)\left(x+\dfrac 12\right),\\ OP&:y=-x,\\ ON&:y=nx,\end{split}\]于是\[A\left(-m^2,m^2\right),B\left(\dfrac{m^2}{n},m^2\right),\]进而 $M,A,B$ 的横坐标分别为 $m,-m^2,-2m^2-m$,从而 $AM=AB$,于是\[\dfrac{S_1}{3S_2}=\dfrac{AP}{3AO}=\dfrac{-m^2+1}{3m^2}=-\dfrac 13+\dfrac{1}{3m^2}>1,\]因此 $S_1>3S_2$.

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