每日一题[1497]不等式与函数

已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$,求 $M=a^2bc+ab^2c+abc^2$ 的最大值和最小值.

答案      最大值为 $\dfrac1 3$,最小值为 $-\dfrac{1+\sqrt2} {16}$.

解析      最大值      根据均值不等式,有\[\begin{split} M&=abc(a+b+c)\\ &\leqslant \left(\dfrac {|a|+|b|+|c|}3\right)^3\cdot (|a|+|b|+|c|)\\ &=3\left(\dfrac{|a|+|b|+|c|}3\right)^4\\ &\leqslant 3\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}3\right)^2\\ &=\dfrac 19 ,\end{split}\]等号当 $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得等号,于是 $M$ 的最大值为 $\dfrac 13$.

最小值      只需考虑 $a,b>0$,$c<0$ 的情形.问题转化为

新问题      已知 $a,b,c>0$ 且 $a^2+b^2+c^2=1$,求 $abc(a+b-c)$ 的最大值. 先考虑 $a+b>c$ 的情形(否则 $abc(a+b-c)$ 为负值).此时\[\begin{split} N&=abc(a+b+c)\\ &\leqslant \dfrac{a^2+b^2}2\cdot c\cdot \left(2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}-c\right)\\ &=\dfrac{1-c^2}2\cdot c\cdot \left(\sqrt{2(1-c^2)}-c\right),\end{split}\]令 $c=\sin\theta$,则\[\begin{split} N&=\dfrac 12\cos^2\theta\sin\theta(\sqrt 2\cos\theta-\sin\theta)\\ &=\dfrac{\cos^2\theta\sin\theta(\sqrt 2\cos\theta-\sin\theta)}{2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)^2}\\ &=\dfrac{\tan\theta(\sqrt 2-\tan\theta)}{2(\tan^2\theta+1)^2},\end{split}\]令\[f(x)=\dfrac{x(\sqrt 2-x)}{2(x^2+1)^2},\]则其导函数\[f'(x)=\dfrac{(2x+\sqrt 2)(x-1-\sqrt 2)(x+1-\sqrt 2)}{2(x^2+1)^3},\]于是 $f(x)$ 的极大值,亦为最大值为\[f\left(\sqrt 2-1\right)=\dfrac{1+\sqrt 2}{16},\]进而所求 $M$ 的最小值为 $-\dfrac{1+\sqrt 2}{16}$,当 $a=b$ 且 $c=1-\sqrt 2$ 时取得.

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